☆ 双曲線関数 ☆
〇 hyperbolic function 2022.6-2012.1 Yuji.W ★
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 000
〓 双曲線関数 〓
▢ ネイピア数 e 変数 x e^x=exp(x) 1/e^x=e^(-x)=exp(-x)
▷ {定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/[exp(x)+exp(-x)]
|
「cosh,sinh」 |
|||||
|
▷ |
0 |
0.5 |
1 |
2 |
3 |
|
exp(x) |
1 |
1.65 |
2.72 |
7.39 |
20.09 |
|
exp(-x) |
1 |
0.61 |
0.37 |
0.14 |
0.05 |
|
cosh(x) |
1 |
1.13 |
1.54 |
3.76 |
10.07 |
|
sinh(x) |
0 |
0.52 |
1.18 |
3.63 |
10.02 |
|
cosh(x)^2 |
1 |
1.28 |
2.38 |
14.15 |
101.36 |
|
sinh(x)^2 |
0 |
0.27 |
1.38 |
13.15 |
100.36 |
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 10 |
| sinh(x) | 0 | 1.175 | 3.627 | 10.018 | 11013 |
| cosh(x) | 1 | 1.543 | 3.762 | 10.068 | 11013 |
| tanh(x) | 0 | 0.762 | 0.964 | 0.995 | 1 |
▷ cosh(0)=1 cosh(1)=(e+1/e)/2~(2.72+0.37)/2~1.54 cosh(-x)=cosh(x)
▷ sinh(0)=0 sinh(1)=(e-1/e)/2~1.18 sinh(-x)=-sinh(x)
どの x の値でも cosh(x)>sinh(x)
▷ tanh(0)=0 tanh(1)~0.76 tanh(-x)=-tanh(x)
tanh(∞)
=lim[x->∞]{[(exp(x)+exp(-x)]/[(exp(x)+exp(-x)]}
=lim[x->∞]{[1+exp(-2*x)]/[1+exp(-2*x)]}
=1/1
=1 最大値
どの x の値でも -1<tanh(x)<1
〓 cosh , sinh , tanh の関係 〓
▷ 4*cosh(x)^2
=[exp(x)+exp(-x)]^2
=[exp(x)]^2+2*exp(x)*exp(-x)+[exp(-x)]^2
=exp(2*x)+2+exp(-2*x)
また 4*sinh(x)^2=exp(2*x)-2+exp(-2*x)
⇒ 4*[cosh(x)^2-sinh(x)^2]=4
≫ cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 ★
▷ 双曲線 x^2-y^2=1 上の点 P(x,y) Pと原点を結ぶ直線と、x軸とが作る角を a とすれば、
x=cosh(a) y=sinh(a) と書ける
▷ tanh(x)^2
=sinh(x)^2/cosh(x)^2
=[cosh(x)^2-1]/cosh(x)^2
=1-1/cosh(x)^2
≫ 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2 ★
〓 cosh(a+b) , sinh(a+b) 〓
▷ 4*cosh(a)*cosh(b)
=[exp(a)+exp(-a)]*[exp(b)+exp(-b)]
=exp(a)*exp(b)+exp(a)*exp(-b)+exp(-a)*exp(b)+exp(-a)*exp(-b)
=exp(a+b)+exp(a-b)+exp(-a+b)+exp(-a-b)
また 4*sinh(a)*sinh(b)
=[exp(a)-exp(-a)]*[exp(b)-exp(-b)]
=exp(a+b)-exp(a-b)-exp(-a+b)+exp(-a-b)
⇒ 4*[cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)]
=2*[exp(a+b)+exp(-a-b)]
=4*cosh(a+b)
≫ cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b) ★
▷ 4*sinh(a)*cosh(b)
=[exp(a)-exp(-a)]*[exp(b)+exp(-b)]
=exp(a+b)+exp(a-b)-exp(-a+b)-exp(-a-b)
また 4*cosh(a)*sinh(b)
=[exp(a)+exp(-a)]*[exp(b)-exp(-b)]
=exp(a+b)-exp(a-b)+exp(-a+b)-exp(-a-b)
⇒ 4*[sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)]
=2*[exp(a+b)-exp(-a-b)]
=4*sinh(a+b)
≫ sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b) ★
〓 倍角、半角、２乗 〓
▢ cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)
sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)
▷ cosh(2*x)=cosh(x)^2+sinh(x)^2=2*cosh(x)^2-1 ★
また sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x) ★
▷ 2*cosh(x)^2=cosh(2*x)+1
また 2*sinh(x)^2=cosh(2*x)-1
〓 近似式 〓
▢ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+…
▷ |x|<<1 のとき
2*cosh(x)
=exp(x)+exp(-x)
=(1+x+x^2/2+x^3/6+…)+(1-x+x^2/2-x^3/6+…)
=2*(1+x^2/2+…)
|x|<<1 のとき cosh(x)=1+x^2/2 ★
▷ 同様に sinh(x)=x+x^3/6 & tanh(x)=x-x^3/3 ★
▢ x>>1 で exp(-x)=0
▷ x>>1 で、
2*cosh(x)=exp(x)+exp(-x)=exp(x)
また 2*sinh(x)=exp(x)-exp(-x)=exp(x)
≫ x>>1 のとき cosh(x)=sinh(x)=exp(x)/2 tanh(x)=1
〓 双曲線関数 〓 《 双曲線関数 23.8 》
〇 ネイピア数 e 変数 x e^x=exp(x) 1/e^x=e^(-x)=exp(-x)
{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/[exp(x)+exp(-x)]
〇 双曲線 x^2-y^2=1 上の点 P(x,y) Pと原点を結ぶ直線と、x軸とが作る角を a とすれば
x=cosh(a) y=sinh(a)
〇 cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2
cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)
sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)
cosh(2*x)=2*cosh(x)^2-1 sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x)
2*cosh(x)^2=cosh(2*x)+1 2*sinh(x)^2=cosh(2*x)-1
〇 |x|<<1 のとき cosh(x)=1+x^2/2 sinh(x)=x+x^3/6 tanh(x)=x-x^3/3
x>>1 のとき cosh(x)=sinh(x)=exp(x)/2 tanh(x)=1
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