☆お勉強しようUz☆ 数学.関数

2016/8-2012/1 Yuji.W

☆双曲線関数☆

◎ 双曲線関数 逆双曲線関数 虚数の三角関数 微分 積分 hyperbolic function

※ arcsinh は誤記 正しくは arsinh だそうです

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆双曲線関数☆

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2

 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

「cosh,sinh」

0

0.5

1

2

3

exp(x)

1

1.65

2.72

7.39

20.09

exp(-x)

1

0.61

0.37

0.14

0.05

cosh(x)

1

1.13

1.54

3.76

10.07

sinh(x)

0

0.52

1.18

3.63

10.02

cosh(x)^2

1

1.28

2.38

14.15

101.36

sinh(x)^2

0

0.27

1.38

13.15

100.36

※ cos(x) , sin(x) などの三角関数の x は、角度を表したが、cosh(x) , sinh(x) などの双曲線関数の x は、特定の角度と対応しない。対応しているかのような誤解を与える図を掲載している資料がある。

■ cosh(0)=1 cosh(1)=(e+1/e)/2~(2.72+0.37)/2~1.54 cosh(-x)=cosh(x)

■ sinh(0)=0 sinh(1)=(e-1/e)/2~1.18 sinh(-x)=-sinh(x)

どの x の値でも cosh(x)>sinh(x)

■ tanh(0)=0 tanh(1)~0.76 tanh(-x)=-tanh(x)

 tanh(∞)
=lim[x->∞]{[(exp(x)+exp(-x)]/[(exp(x)+exp(-x)]}
=lim[x->∞]{[1+exp(-2*x)]/[1+exp(-2*x)]}
=1/1
=1 最大値

どの x の値でも -1<tanh(x)<1

■ cosh(x)^2-sinh(x)^2
=[exp(x)^2+2+exp(-x)^2]/4-[exp(x)^2-2+exp(-x)^2]/4=1 

 1-tanh(x)^2
=1-(e^2-2+1/e^2)/(e^2+2+1/e^2)
=[(e^2+2+1/e^2)-(e^2-2+1/e^2)]/(e^2+2+1/e^2)
=4/(e^2+2+1/e^2)
=1/cosh(x)^2 

■ sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)

 cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)

■ sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x)

 cosh(2*x)=cosh(x)^2+sinh(x)^2=2*cosh(x)^2-1

■ sinh(x)^2=[exp(2x)-2+exp(-2x)]/4=[cosh(2*x)-1]/2

 cosh(x)^2=[exp(2x)+2+exp(-2x)]/4=[cosh(2*x)+1]/2

『双曲線関数』 2016/8

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

■ cosh(x)^2-sinh(x)^2=1

 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

■ sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)

 cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)

■ sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x)

 cosh(2*x)=2*cosh(x)^2-1

■ sinh(x)^2=[cosh(2*x)-1]/2

 cosh(x)^2=[cosh(2*x)+1]/2

■ x<<1 で exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/6

 sinh(x)=x+x^3/6 cosh(x)=1+x^2/2 tanh(x)=x-x^3/3

■ x>>1 で cosh(x)=sinh(x)=exp(x)/2 tanh(x)=1

☆双曲線関数の微分、積分☆

■ cosh(x);x=[exp(x)-exp(-x)]/2=sinh(x) 

 sinh(x);x=[exp(x)+exp(-x)]/2=cosh(x) 

 tanh(x);x
=(sinh(x);x*cosh(x)-sinh(x)*cosh(x);x)/cosh(x)^2
=(cosh(x)^2-sinh(x)^2)/cosh(x)^2
=1/cosh(x)^2 

■ cosh(x/a);x=[cosh(x/a);(x/a)]*[(x/a);x]=(1/a)*sinh(x/a) 

 sinh(x/a);x=(1/a)*cosh(x/a) 

 tanh(x/a);x=1/[a*cosh(x)^2] 

■ ${sinh(x)*dx}=cosh(x) 

 ${cosh(x)*dx}=sinh(x) 

 ${[1/cosh(x)^2]*dx}=tanh(x) 

■ {ln[cosh(x/a)]};x
=[1/cosh(x/a)]*[cosh(x/a)];x
=[1/cosh(x/a)]*(1/a)*sinh(x/a)
=(1/a)*tanh(x/a)

≫ {ln[cosh(x/a)]};x=(1/a)*tanh(x/a)

 ${tanh(x/a)*dx}=a*ln[cosh(x/a)]

『双曲線関数』 2015/9

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2

 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)
 tanh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/[exp(x)+exp(-x)]
 tanh(x)=[1-exp(-2*x)]/[1+exp(-2*x)]
 tanh(x)=[exp(2*x)-1]/[exp(2*x)+1]

 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

■ {ln[cosh(x/a)]};x=(1/a)*tanh(x/a)

 ${tanh(x/a)*dx}=a*ln[cosh(x/a)]

「双曲線関数」 2015/4

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2

 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

「cosh,sinh」

0

0.5

1

2

3

exp(x)

1

1.65

2.72

7.39

20.09

exp(-x)

1

0.61

0.37

0.14

0.05

cosh(x)

1

1.13

1.54

3.76

10.07

sinh(x)

0

0.52

1.18

3.63

10.02

cosh(x)^2

1

1.28

2.38

14.15

101.36

sinh(x)^2

0

0.27

1.38

13.15

100.36

■ cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

■ cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)

 sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)

■ cosh(2*x)=2*cosh(x)^2-1 sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x)

■ cosh(x)^2=[cosh(2*x)+1]/2 sinh(x)^2=[cosh(2*x)-1]/2

■ cosh(x);=sinh(x) sinh(x);=cosh(x) tanh(x);=1/cosh(x)^2

■ cosh(x/a);x=(1/a)*sinh(x/a) sinh(x/a);x=(1/a)*cosh(x/a)

 tanh(x/a);x=1/[a*cosh(x)^2]

■ {ln[cosh(x/a)]};x=(1/a)*tanh(x/a)

 ${tanh(x/a)*dx}=a*ln[cosh(x/a)]

☆逆双曲線関数☆

◎ それぞれの関数の逆関数を求めよう。

cosh(x) ⇔ arcosh(x) sinh(x) ⇔ arsinh(x) tanh(x) ⇔ artanh(x)

■ y=arcosh(x) x>1 , y>0 で考える。

 x=cosh(y)=[exp(y)+exp(-y)]/2 exp(y)^2-2*x*exp(y)+1=0 exp(y) の2次方程式

 exp(y)=x+root(x^2-1) - 解は、不適切 y=ln[x+root(x^2-1)]

 arcosh(x)=ln[x+root(x^2-1)] 

■ arcosh(x/a)=ln{x/a+root[(x/a)^2-1]}=ln[x+root(x^2-a^2)]-ln(a) 

■ y=arsinh(x) x=sinh(y)=[exp(y)-exp(-y)]/2 exp(y)^2-2*x*exp(y)-1=0

 exp(y)=x+root(x^2+1) - 解は、不適切 y=ln[x+root(x^2+1)]

 arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)] 

■ arsinh(x/a)=ln[x+root(x^2+a^2)]-ln(a) 

■ y=artanh(x) -1<x<1

 x=[exp(y)-exp(-y)]/[exp(y)+exp(-y)]=[exp(y)^2-1]/[exp(y)^2+1]

 x*[exp(y)^2+1]=exp(y)^2-1 exp(y)^2=(1+x)/(1-x) exp(y)=root[(1+x)/(1-x)]

 y=ln{root[(1+x)/(1-x)]}=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]

 artanh(x)=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)] 

■ artanh(x/a)=(1/2)*ln[(1+x/a)/(1-x/a)]=(1/2)*ln[(a+x)/(a-x)] 

☆逆双曲線関数の微分☆

■ arcosh(x);x
=ln[x+root(x^2-1)];x
=[1+x/root(x^2-1)]/[x+root(x^2-1)]
=1/root(x^2-1)  arcosh(x);x=1/root(x^2-1) 

{確かめ} y=cosh(x) y;x=sinh(x)  x=arcosh(y)

 x;y=1/root(y^2-1)=1/root[cosh(x)^2-1]=1/root[sinh(x)^2]=1/sinh(x)

 (y;x)*(x;y)=sinh(x)/sinh(x)=1 {ok!}

■ arcosh(x/a);x=(1/a)/root[(x/a)^2-1]=1/root(x^2-a^2) 

{別解} arcosh(x/a);x
={ln[x+root(x^2-a^2)]-ln(a)};x
=[1+x/root(x^2-a^2)]/[x+root(x^2-a^2)]
=[1+x/root(x^2-a^2)]/[x+root(x^2-a^2)]
=1/root(x^2-a^2)

{確かめ} y=cosh(x/a) y;x=(1/a)*sinh(x/a)

 x/a=arcosh(y)

 x;y=a/root(y^2-1)=a/root[cosh(x/a)^2-1]=a/sinh(x/a)

 (y;x)*(x;y)=[(1/a)*sinh(x/a)]*[a/sinh(x/a)]=1

■ arsinh(x);x
=ln[x+root(x^2+1)];x
=[1+x/root(x^2+1)]/[x+root(x^2+1)]
=1/root(x^2+1)  arsinh(x);x=1/root(x^2+1) 

{確かめ} y=sinh(x) y;x=cosh(x)  x=arsinh(y)

 x;y=1/root(y^2+1)=1/root[sinh(x)^2+1]=1/root[cosh(x)^2]=1/cosh(x)

 (y;x)*(x;y)=cosh(x)/cosh(x)=1 {ok!}

■ arsinh(x/a);x=(1/a)/root[(x/a)^2+1]=1/root(x^2+a^2) 

■ [(1+x)/(1-x)];x=[(1-x)-(1+x)*(-1)]/(1-x)^2=2/(1-x)^2

 artanh(x);x
=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)];x
=(1/2)*[2/(1-x)^2]*[(1-x)/(1+x)]
=1/(1-x^2)   artanh(x);x=1/(1-x^2) 

{確かめ} y=tanh(x) y;x=1/cosh(x)^2  x=artanh(y)

 x;y=1/(1-y^2)=1/[1-tanh(x)^2]=cosh(x)^2

 (y;x)*(x;y)=[1/cosh(x)^2]*cosh(x)^2=1 {ok!}

■ artanh(x/a);x=1/(a^2-x^2) 

「逆双曲線関数」 2015/4

◆ それぞれの関数の逆関数 cosh(x) ⇔ arcosh(x) sinh(x) ⇔ arsinh(x)

 tanh(x) ⇔ artanh(x)

■ arcosh(x)=ln[x+root(x^2-1)] arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)]

 artanh(x)=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]

 arcosh(x/a)=ln[x+root(x^2-a^2)]-ln(a)

 arsinh(x/a)=ln[x+root(x^2+a^2)]-ln(a)

 artanh(x/a)=(1/2)*ln[(a+x)/(a-x)]

■ arcosh(x);x=1/root(x^2-1) arsinh(x);x=1/root(x^2+1)

 artanh(x);x=1/(1-x^2)

■ arcosh(x/a);x=1/root(x^2-a^2) arsinh(x/a);x=1/root(x^2+a^2)

 artanh(x/a);x=1/(a^2-x^2)

■ ${dx/root(x^2-1)}=arcosh(x) ${dx/root(x^2-a^2)}=arcosh(x/a)

 ${dx/root(x^2+1)}=arsinh(x) ${dx/root(x^2+a^2)}=arsinh(x/a)

 ${dx/(1-x^2)}=artanh(x) ${dx/(a^2-x^2)}=artanh(x/a)

※ ${dx/root(a^2-x^2)}=arcsin(x/a)

 ${dx/(x^2+1)}=arctan(x) ${dx/(x^2+a^2)}=(1/a)*arctan(x/a)

☆積分-双曲線関数の利用

「積分-双曲線関数、逆双曲線関数」 2015/4

■ sinh(x) ⇒ cosh(x) cosh(x) ⇒ sinh(x) 1/cosh(x)^2 ⇒ tanh(x)

■ cosh(x/a) ⇒ a*sinh(x/a) sinh(x/a) ⇒ a*cosh(x/a)

 1/cosh(x)^2 ⇒ a*tanh(x/a)

■ 1/root(x^2-1) ⇒ arcosh(x)=ln[x+root(x^2-1)]

 1/root(x^2+1) ⇒ arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)]

 1/(1-x^2) ⇒ artanh(x)=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]

■ 1/root(x^2-a^2) ⇒ arcosh(x/a)=ln[x+root(x^2-a^2)]-ln(a)

 1/root(x^2+a^2) ⇒ arsinh(x/a)=ln[x+root(x^2+a^2)]-ln(a)

 1/(a^2-x^2) ⇒ artanh(x/a)=(1/2)*ln[(a+x)/(a-x)]

■ 1/root(a^2-x^2) ⇒ arcsin(x/a)

 1/(x^2+1)} ⇒ arctan(x) 1/(x^2+a^2) ⇒ (1/a)*arctan(x/a)

◎ 1/root(x^2-1) の定積分を求めよう

「y=1/root(x^2-1)」 2015/4

x

1

root2

2

3

4

5

10

100

1/y

0

1

root3

root8

root(15)

root(24)

root(99)

root(9999)

y

1

0.58

0.35

0.26

0.20

0.1

0.01

★ I=${dx/root(x^2-1)}[x:2~3]
=arcosh(3)-arcosh(2)
=ln(3+2*root2)-ln(2+1)
~1.76-1.10
=0.66

★ I=${dx/root(x^2-1)}[x:2~100]
=arcosh(100)-arcosh(2)
=ln[100+root(9999)]-ln(2+1)
~5.30-1.10
=4.20

★ I=${dx/root(x^2-1)}[x:10~100]
=arcosh(100)-arcosh(10)
=ln[100+root(9999)]-ln[10+root(99)]
~5.30-2.99
=2.31

{別解} 1/root(x^2-1) を 1/x で近似すると、

 I=${dx/x}[x:10~100]=ln(100)-ln(10)~4.61-2.30=2.31 {素晴らしい!2015/4}

◇虚数角の三角関数◇

◎ 角度が虚数の三角関数を考えよう。

● 虚数単位 i expi(a)=cos(a)+i*sin(a)

■ a=i*x を代入すれば、

 左辺=expi(i*x)=exp(i*i*x)=exp(-x) 右辺=cos(i*x)+i*sin(i*x)

 exp(-x)=cos(i*x)+i*sin(i*x) @

a=-i*a を代入すれば exp(x)=cos(i*x)-i*sin(i*x) A

@Aより、

 cos(i*x)=[exp(x)+exp(-x)]/2=cosh(x)

 sin(i*x)=[-exp(x)+exp(-x)]/(2*i)=[exp(x)-exp(-x)]/2=sinh(x)

 cos(i*x)=cosh(x) sin(i*x)=sinh(x) 

{虚数角の三角関数があることを知らず、相対論で扱う三角関数はおかしいと言って、相対論は間違っていると書いてあるサイトがあった!2013/2}

  双曲線関数  

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