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◎ 等比数列の無限に続く数列の和 無限級数 |
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◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数- ★. |
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■ 等比数列(初項1 公比r) 第 n 項までの和 S(n) not[r=1] S(n)=1+r+r^2+r^3+…+r^n 1+r*S(n)=1+r+r^2+r^3+…+r^n+r^(n+1)=S(n)+r^(n+1) 1+r*S(n)=S(n)+r^(n+1) (1-r)*S(n)=1-r^(n+1) S(n)=[1-r^(n+1)]/(1-r) ■ さらに、n->∞ を考えよう。|r|<1 で r^(n+1) ->0 ⇒ 無限級数の和 S=lim[n->∞]{S(n)}=1/(1-r) ★ ただし |r|<1 {別解}|r|<1 のとき S=1+r+r^2+r^3+… と書ける。 |r|>1 のとき、発散してしまうから、そのようには書けない。 |r|<1 のとき S=1+r+r^2+r^3+… r*S=r+r^2+r^3+…=S-1 S=1/(1-r) 1+r+r^2+r^3+…=1/(1-r) ★ ただし |r|<1 ※1+3+3^2+3^3+…=1/(1-3)=-1/2 などとできない{!} ■
|r.|>1
のとき 1+(1/r.)+(1/r.)^2+(1/r.)^3+… ■ |r|<1 a+a*r+a*r^2+a*r^3+…=a*(1+r+r^2+r^3+…)=a/(1-r) ★ ■ |r|<1 1+r+r^2+r^3+…=1/(1-r) r で微分すると、 左辺=1+2*r+3*r^2+… 右辺=+1/(1-r)^2 r を掛けると、 左辺=r+2*r^2+3*r^3+… 右辺=r/(1-r)^2 r+2*r^2+3*r^3+4*r^4+…=r/(1-r)^2 ★ ただし |r|<1 ★ S=1-1/2+1/4-1/8+1/16-… 初項 1 公比 -1/2 の無限等比級数だから、 S=1/[1-(-1/2)]=2/3
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(1/2)+2/2^2+3*/2^3+4/2^4+5/2^5+6/2^6+… ★
(1/2)-2/2^2+3*/2^3-4/2^4+5/2^5-6/2^6+… |
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★ 等比数列 ★ |