☆お勉強しようUz☆ 数学.数列

2016/8-2012/5 Yuji.W

☆等比数列☆

◎ 等比数列の無限に続く数列の和 無限級数

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇等比数列の無限級数◇

■ 等比数列(初項1 公比r) 第 n 項までの和 S(n) not[r=1]

 S(n)=1+r+r^2+r^3+…+r^n

 1+r*S(n)=1+r+r^2+r^3+…+r^n+r^(n+1)=S(n)+r^(n+1)

 1+r*S(n)=S(n)+r^(n+1)

 (1-r)*S(n)=1-r^(n+1)

 S(n)=[1-r^(n+1)]/(1-r)

■ さらに、n->∞ を考えよう。|r|<1 で r^(n+1) ->0 ⇒

 無限級数の和 S=lim[n->∞]{S(n)}=1/(1-r) ただし |r|<1

{別解}|r|<1 のとき S=1+r+r^2+r^3+… と書ける。

|r|>1 のとき、発散してしまうから、そのようには書けない。

|r|<1 のとき S=1+r+r^2+r^3+…

 r*S=r+r^2+r^3+…=S-1

 S=1/(1-r)

 1+r+r^2+r^3+…=1/(1-r) ただし |r|<1

※1+3+3^2+3^3+…=1/(1-3)=-1/2 などとできない{!}

■ |r.|>1 のとき 1+(1/r.)+(1/r.)^2+(1/r.)^3+…
=1/[1-(1/r.)]
=r./(r.-1)
ただし |r.|>1

■ |r|<1 a+a*r+a*r^2+a*r^3+…=a*(1+r+r^2+r^3+…)=a/(1-r)

■ |r|<1 1+r+r^2+r^3+…=1/(1-r) r で微分すると、

 左辺=1+2*r+3*r^2+… 右辺=+1/(1-r)^2

r を掛けると、

 左辺=r+2*r^2+3*r^3+… 右辺=r/(1-r)^2

 r+2*r^2+3*r^3+4*r^4+…=r/(1-r)^2 ただし |r|<1

★ S=1-1/2+1/4-1/8+1/16-… 初項 1 公比 -1/2 の無限等比級数だから、

 S=1/[1-(-1/2)]=2/3

★ (1/2)+2/2^2+3*/2^3+4/2^4+5/2^5+6/2^6+…
=0.5+0.5+0.375+0.25+0.16+0.09+…~1.875
=(1/2)/(1/2)^2=2

★ (1/2)-2/2^2+3*/2^3-4/2^4+5/2^5-6/2^6+…
=0.5-0.5+0.375-0.25+0.16-0.09+…~0.195
=-[-(1/2)+2/2^2-3*/2^3+4/2^4-5/2^5+6/2^6-…]
=-[-(1/2)/(1+1/2)^2
=2/9~0.222

  等比数列  

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