数学 関数

2015/10-2012/7 Yuji.W

フーリエ級数

◎ フーリエ級数 n:整数 のとき cos(n*Pi)=-1,0,1 に限られる

Joseph Fourier フランス 1768-1830 熱伝導 江戸時代の人

◇ ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
2^3=8 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 複素共役 z! 〔
物理定数.2015/10/07

☆三角関数の和☆

三角関数の和 

@ sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x)+sin(7*x)+sin(9*x)

A sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7+sin(9*x)/9

B sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25-sin(7*x)/49+sin(9*x)/81

C cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+cos(5*x)/25

▲ 三角関数を足し合わせると、いろいろな周期関数を表す事ができる可能性がある .

◇復習-三角関数の不定積分◇

■ ${x*sin(a*x)*dx}=-x*cos(a*x)/a+sin(a*x)/a^2

 ${x*cos(a*x)*dx}=x*sin(a*x)/a+cos(a*x)/a^2

■ ${x^2*cos(a*x)*dx}=(x^2/a-2/a^3)*sin(a*x)+2*x*cos(a*x)/a^2

 ${x^2*sin(a*x)*dx}=(-x^2/a+2/a^3)*cos(a*x)+2*x*sin(a*x)/a^2

☆フーリエ級数☆

◎ 周期関数を、三角関数の和で表す

◆ 周期 [x:-L~L] 関数 または その範囲だけ考えて 任意の関数 f(x) n=1,2,3,…

■ f(x)
=C0+C1*cos(Pi*x/L)+C2*cos(2Pi*x/L)+C3*cos(3Pi*x/L)+…
+S1*sin(Pi*x/L)+S2*sin(2*Pi*x/L)+S3*sin(3*Pi*x/L)+…
.フーリエ級数 

 C0=Avg{f(x)}[x:-L~L]=${f(x)*dx}[x:-L~L]/(2*L)

 Cn=2*Avg{f(x)*cos(n*x)}[x:-L~L]=${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:-L~L]/L

 Sn=2*Avg{f(x)*sin(n*x)}[x:-L~L]=${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:-L~L]/L

▲ 任意の偶関数 f(x) f(x)=f(-x) のとき

 f(x)=C0+C1*cos(Pi*x/L)+C2*cos(2Pi*x/L)+C3*cos(3Pi*x/L)+…

 C0=Avg{f(x)}[x:-L~L]=${f(x)*dx}[x:0~L]/L

 Cn=2*Avg{f(x)*cos(n*x)}[x:0~L]=2*${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:0~L]/L

▲ 任意の奇関数 f(x) f(x)=-f(-x) のとき

 f(x)=S1*sin(Pi*x/L)+S2*sin(2*Pi*x/L)+S3*sin(3*Pi*x/L)+…

 Sn=4*Avg{f(x)*sin(n*x)}[x:0~L]=2*${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:0~L]/L

※ さらに 奇関数 0<x<L で 直線 x=L/2 で線対称の場合 S2=S4=S6=…=0

『フーリエ級数』 2015/10

◆ 周期 [x:-L~L] 関数 または その範囲だけ考えて 任意の関数 f(x) n=1,2,3,…

■ f(x)
=C0+C1*cos(Pi*x/L)+C2*cos(2Pi*x/L)+C3*cos(3Pi*x/L)+…
+S1*sin(Pi*x/L)+S2*sin(2*Pi*x/L)+S3*sin(3*Pi*x/L)+…

 C0=Avg{f(x)}[x:-L~L]=${f(x)*dx}[x:-L~L]/(2*L)

 Cn=2*Avg{f(x)*cos(n*x)}[x:-L~L]=(1/L)*${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:-L~L]

 Sn=2*Avg{f(x)*sin(n*x)}[x:-L~L]=(1/L)*${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:-L~L]

▲ 任意の偶関数 f(x) f(x)=f(-x) のとき

 f(x)=C0+C1*cos(Pi*x/L)+C2*cos(2Pi*x/L)+C3*cos(3Pi*x/L)+…

 C0*L=${f(x)*dx}[x:0~L] Cn*L=2*${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:0~L]

▲ 任意の奇関数 f(x) f(x)=-f(-x) のとき

 f(x)=S1*sin(Pi*x/L)+S2*sin(2*Pi*x/L)+S3*sin(3*Pi*x/L)+…

 Sn*L=2*${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:0~L]

※ さらに 奇関数 0<x<L で 直線 x=L/2 で線対称の場合 S2=S4=S6=…=0

☆矩形波☆

◎ 矩形波を、フーリエ級数展開する

sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7+sin(9*x)/9

◆ 矩形波 f(-Pi<x<0)=-1 f(0<x<Pi)=1 奇関数

■ C0=C1=C2=…=0 S2=S4=S6=…=0

 S1*Pi=2*${sin(x)*dx}[x:0~Pi]=2*[-cos(x)][x:0~Pi]=4 S1=4/Pi

  S3*Pi=2*${sin(3*x)*dx}[x:0~Pi]=2*[-cos(3*x)/3][x:0~Pi]=4/3 S3=(4/Pi)/3

 f(x)=(4/Pi)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…] .

▲ f(0<x<Pi)=1 x=Pi/2 と置くと 左辺=1 右辺=(4/Pi)*(1-1/3+1/5-1/7+…)

 1-1/3+1/5-1/7+…=Pi/4 .

☆のこぎり波☆

◎ のこぎり波(三角波とは違う)を、フーリエ級数展開する

◆ 周期 [-Pi~Pi] -Pi<x<Pi で f(x)=x/Pi 奇関数

 f(x)=S1*sin(x)+S2*sin(2*x)+S3*sin(3*x)+…

 Sn*Pi=2*${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:0~Pi]

● ${x*sin(a*x)*dx}=-x*cos(a*x)/a+sin(a*x)/a^2

■ S1*Pi
=2*${(x/Pi)*sin(x)*dx}[x:0~Pi]
=(2/Pi)*[-x*cos(x)+sin(x)][x:0~Pi]
=(2/Pi)*Pi
=2  S1=2/Pi

 S2*Pi=(2/Pi)*[-x*cos(2*x)/2+sin(2*x)/4][x:0~Pi]=(2/Pi)*(-Pi/2)=-1

 S2=-1/Pi

 S3*Pi=(2/Pi)*[-x*cos(3*x)/3+sin(3*x)/9][x:0~Pi]=(2/Pi)*(Pi/3)=2/3

 S3=2/(3Pi)

 x/Pi
=(2/Pi)*sin(x)-(1/Pi)*sin(2*x)+[2/(3Pi)]*sin(3*x)-…
=(2/Pi)*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+sin(5*x)/5-…]
.

▲ x=Pi/2 のとき 左辺=1/2 右辺=(2/Pi)*[1-1/3+1/5-1/7+1/9-…]

 1/2=(2/Pi)*[1-1/3+1/5-1/7+1/9-…]

 1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=Pi/4 .

☆三角波☆

◎ 三角波を、フーリエ級数展開する

sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25-sin(7*x)/49+sin(9*x)/81

◆ 周期 [-Pi~Pi]

f(-Pi<x<-Pi/2)=-x-Pi f(-Pi/2<x<Pi/2)=x f(Pi/2<x<Pi)=-x+Pi

■ 原点をx軸のプラス側に Pi/2 だけずらす(計算を楽にするため) .

 f(-Pi<x<0)=x+Pi/2 f(0<x<Pi)=-x+Pi/2 偶関数

 f(x)=C0+C1*cos(x)+C2*cos(2*x)+C3*cos(3*x)+…

 C0*Pi=${f(x)*dx}[x:0~Pi] Cn*Pi=2*${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:0~Pi]

 C0=0

 Cn*Pi
=2*${(-x+Pi)*cos(n*x)*dx}[x:0~Pi]
=2*[-x*sin(n*x)/n-cos(n*x)/n^2+Pi*sin(n*x)/n][x:0~Pi]
=-2*cos(n*Pi)/n^2+2/n^2
=2*[1-cos(n*Pi)]/n^2

≫ Cn=(2/Pi)*[1-cos(n*Pi)]/n^2

n:奇数 のとき 1-cos(n*Pi)=2 C1=4/Pi C3=(4/Pi)/9 C5=(4/Pi)/25

n:偶数 のとき 1-cos(n*Pi)=0 C2=C4=C6=…=0

 偶関数の三角波 f(x)=(Pi/4)*[cos(x)+cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+…] .

元の三角波(原点をずらす前)は x->x-Pi/2 と置き換えればよい

 cos(x-Pi/2)=sin(x) cos[3*(x-Pi/2)]=cos(3*x-3*Pi/2)=-sin(3*x)

 cos[5*(x-Pi/2)]=cos(5*x-5*Pi/2)=sin(5*x) …

 奇関数の三角波 f(x)=(Pi/4)*[sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25+…] .

{別解} 原点をずらさないで計算すると、

 Sn*Pi
=2*${x*sin(n*x)*dx}[x:0~Pi/2]+2*${(-x+Pi)*sin(n*x)*dx}[x:Pi/2~Pi]
=2*[-x*cos(n*x)/n+sin(n*x)/n^2][x:0~Pi/2]
+2*[x*cos(n*x)/n-sin(n*x)/n^2-Pi*cos(n*x)/n][x:Pi/2~Pi]
=2*{sin(n*Pi/2)/n^2+Pi*cos(n*Pi)/n-Pi*cos(n*Pi)/n]+2*sin(n*Pi/2)/n^2
=4*sin(n*Pi/2)/n^2

 Sn=(4/Pi)*sin(n*Pi/2)/n^2

n:偶数 のとき sin(n*Pi/2)=0

n:奇数 のとき sin(Pi/2)=1 sin(3*Pi/2)=-1 …

 奇関数の三角波 f(x)=(Pi/4)*[sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25+…] .

{おちついて計算すれば、できるものだな!2015/10}

☆放物線波☆

◆ 周期 [x:-Pi~Pi] の周期関数 f(x)=x^2 偶関数

■ S1=S2=S3=…=0

 C0*Pi=${x^2*dx}[x:0~Pi]=[x^3/3][x:0~Pi]=Pi^3/3 C0=Pi^2/3

 C1*Pi
=2*${x^2*cos(x)*dx}[x:0~Pi]
=2*[(x^2-2)*sin(x)+2*x*cos(x)][x:0~Pi]
=2*(-2*Pi)
=-4*Pi  C1=-4

 C2*Pi
=2*${x^2*cos(2*x)*dx}[x:0~Pi]
=2*[(x^2/2-2/8)*sin(2*x)+2*x*cos(2*x)/4][x:0~Pi]
=2*(2*Pi/4)
=Pi  C2=1
 C3*Pi
=2*${x^2*cos(3*x)*dx}[x:0~Pi]
=2*[(x^2/3-2/27)*sin(3*x)+2*x*cos(3*x)/9][x:0~Pi]
=2*(-2*Pi/9)
=-(4/9)*Pi  C3=-4/9

 C4=1/4

周期 [x:-Pi~Pi] のとき x^2
=Pi^2/3-4*cos(x)+cos(2*x)-4*cos(3*x)/9+cos(4*x)/4…
=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+…]
.

■ x=0 とおくと、
 1-1/4+1/9-1/16+…=Pi^2/12~0.82
.

■ x=Pi/2 とおくと、
 1/4-1/16+1/36-…=(1/4)*[1-1/4+1/9-…]=Pi^2/48
.

■ x=Pi とおくと、
 -(1+1/4+1/9+1/16+…)=-Pi^2/6
 1+1/4+1/9+1/16+…=Pi^2/6~1.64
.バーゼル問題

☆まとめ-いろいろなフーリエ級数☆

『いろいろなフーリエ級数』 2015/10 周期 [-Pi~Pi]

■ 矩形波 f(-Pi<x<0)=-1 f(0<x<Pi)=1

 f(x)=(4/Pi)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…]

■ x/Pi=(2/Pi)*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+sin(5*x)/5-…]

 x=2*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+sin(5*x)/5-…]

■ 偶関数の三角波 f(-Pi<x<0)=x+Pi/2 f(0<x<Pi)=-x+Pi/2

 f(x)=(Pi/4)*[cos(x)+cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+…]

■ 奇関数の三角波 f(-Pi<x<-Pi/2)=-x-Pi f(-Pi/2<x<Pi/2)=x f(Pi/2<x<Pi)=-x+Pi

 f(x)=(Pi/4)*[sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25+…]

■ x^2=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+…]

『いろいろな数列の値-フーリエ級数の利用』 2015/10

■ 1-1/3+1/5-1/7+…=Pi/4

 1-1/4+1/9-1/16+…=Pi^2/12~0.82

バーゼル問題 1+1/4+1/9+1/16+…=Pi^2/6~1.64

☆エネルギーの定理☆

◎ ${f(t)^2}dt を求めよう。

● f(x)=Avg{f(t)}+C1*Ct+C2*C2t+C3*C3t…+S1*St+S2*S2t+S3*S3t+…

 C1=2*Avg{f(t)*Ct} C2=2*Avg{f(t)*C2t}
 S1=2*Avg{f(t)*St} S2=2*Avg{f(t)*S2t}

■ 周期 T として、${f(t)^2}dt[0~T] を考える。多くの項の積分が 0 になる。残るのは、

 ${f(t)^2}dt[0~T]=T*(A0)^2
+(T/2)*[(C1)^2+(C2)^2+…+(S1)^2+(S2)^2+…] ★

▲ parseval の等式 エネルギのー定理
右辺は、積分を計算する必要がない。既に求めてある係数をそれぞれ2乗すればすむ。

☆エネルギーの定理の利用☆

◎ エネルギーの定理を利用して、無限級数の和 を求めることができる。

● 長方形の波のフーリエ級数展開で、k=1 とすれば、

 f(x)=[4/Pi]*(sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…)

■ 長方形の波の式に、エネルギー定理を適用すれば、

 左辺=${f(x)^2*dx}[-Pi~Pi]=2Pi

 右辺=Pi*[4/Pi]^2*[1+1/9+1/25+…]

 1+1/9+1/25+…=Pi^2/8~1.23

{別解}三角波のフーリエ級数で、x=0 とすれば、

 0=1/2-[4/Pi^2]*{1+1/9+1/25+…}

 1+1/9+1/25+…=Pi^2/8~1.23

■ 三角波の式に、エネルギー定理を適用すれば、  

 周期 2 f(x)=|x|
 f(x)=1/2-[4/Pi^2]*{cos(Pi*x]+cos(3Pi*x]/9+cos(5Pi*x]/25+…]

 左辺=2*${x^2}dt[0~1]=2/3

 右辺=2*(1/2)^2+[4/Pi^2]^2*[1^2+(1/9)^2+(1/25)^2+…]

 1+1/3^4+1/5^4+1/7^4+…=Pi^4/96~1.01

■ 1+1/16+1/81+…~1+0.06+0.01+…~1.07…

放物線波の式に、エネルギー定理を適用すれば、  

周期 2Pi f(x)=x^2

 f(x)=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9- …]

 Avg{x^4}=Pi^4/5

(A0)^2+(1/2)*[(C1)^2+(C2)^2+…+(S1)^2+(S2)^2+…]
=Pi^4/9+8*[1+1/16+1/81+…]

 1+1/16+1/81+…=Pi^4*(1/5-1/9)/8=Pi^4/90~1.08 ★
{できた! 2012/7/5}

  フーリエ級数  

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