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☆フーリエ級数☆ |
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◎ フーリエ級数 n:整数 のとき cos(n*Pi)=-1,0,1 に限られる Joseph Fourier フランス 1768-1830 熱伝導 江戸時代の人 |
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ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# |
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■ 三角関数の和 @ sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x)+sin(7*x)+sin(9*x) A sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7+sin(9*x)/9 B sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25-sin(7*x)/49+sin(9*x)/81 C cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+cos(5*x)/25 ▲ 三角関数を足し合わせると、いろいろな周期関数を表す事ができる可能性がある ★. |
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◎ 周期関数を、三角関数の和で表す ◆ 周期 [x:-L~L] 関数 または その範囲だけ考えて 任意の関数 f(x) n=1,2,3,…
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f(x) C0=Avg{f(x)}[x:-L~L]=${f(x)*dx}[x:-L~L]/(2*L) Cn=2*Avg{f(x)*cos(n*x)}[x:-L~L]=${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:-L~L]/L Sn=2*Avg{f(x)*sin(n*x)}[x:-L~L]=${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:-L~L]/L ▲ 任意の偶関数 f(x) f(x)=f(-x) のとき f(x)=C0+C1*cos(Pi*x/L)+C2*cos(2Pi*x/L)+C3*cos(3Pi*x/L)+… C0=Avg{f(x)}[x:-L~L]=${f(x)*dx}[x:0~L]/L Cn=2*Avg{f(x)*cos(n*x)}[x:0~L]=2*${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:0~L]/L ▲ 任意の奇関数 f(x) f(x)=-f(-x) のとき f(x)=S1*sin(Pi*x/L)+S2*sin(2*Pi*x/L)+S3*sin(3*Pi*x/L)+… Sn=4*Avg{f(x)*sin(n*x)}[x:0~L]=2*${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:0~L]/L ※ さらに 奇関数 0<x<L で 直線 x=L/2 で線対称の場合 S2=S4=S6=…=0
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◎ 矩形波を、フーリエ級数展開する sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7+sin(9*x)/9 ◆ 矩形波 f(-Pi<x<0)=-1 f(0<x<Pi)=1 奇関数 ■ C0=C1=C2=…=0 S2=S4=S6=…=0 S1*Pi=2*${sin(x)*dx}[x:0~Pi]=2*[-cos(x)][x:0~Pi]=4 S1=4/Pi S3*Pi=2*${sin(3*x)*dx}[x:0~Pi]=2*[-cos(3*x)/3][x:0~Pi]=4/3 S3=(4/Pi)/3 f(x)=(4/Pi)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…] ★. ▲ f(0<x<Pi)=1 x=Pi/2 と置くと 左辺=1 右辺=(4/Pi)*(1-1/3+1/5-1/7+…) 1-1/3+1/5-1/7+…=Pi/4 ★. |
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◎ のこぎり波(三角波とは違う)を、フーリエ級数展開する ◆ 周期 [-Pi~Pi] -Pi<x<Pi で f(x)=x/Pi 奇関数 f(x)=S1*sin(x)+S2*sin(2*x)+S3*sin(3*x)+… Sn*Pi=2*${f(x)*sin(n*x)*dx}[x:0~Pi] ● ${x*sin(a*x)*dx}=-x*cos(a*x)/a+sin(a*x)/a^2 ■ S1*Pi S2*Pi=(2/Pi)*[-x*cos(2*x)/2+sin(2*x)/4][x:0~Pi]=(2/Pi)*(-Pi/2)=-1 S2=-1/Pi S3*Pi=(2/Pi)*[-x*cos(3*x)/3+sin(3*x)/9][x:0~Pi]=(2/Pi)*(Pi/3)=2/3 S3=2/(3Pi) x/Pi ▲ x=Pi/2 のとき 左辺=1/2 右辺=(2/Pi)*[1-1/3+1/5-1/7+1/9-…] 1/2=(2/Pi)*[1-1/3+1/5-1/7+1/9-…] 1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=Pi/4 ★. |
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◎ 三角波を、フーリエ級数展開する sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25-sin(7*x)/49+sin(9*x)/81 ◆ 周期 [-Pi~Pi] f(-Pi<x<-Pi/2)=-x-Pi f(-Pi/2<x<Pi/2)=x f(Pi/2<x<Pi)=-x+Pi ■ 原点をx軸のプラス側に Pi/2 だけずらす(計算を楽にするため) ★. f(-Pi<x<0)=x+Pi/2 f(0<x<Pi)=-x+Pi/2 偶関数 f(x)=C0+C1*cos(x)+C2*cos(2*x)+C3*cos(3*x)+… C0*Pi=${f(x)*dx}[x:0~Pi] Cn*Pi=2*${f(x)*cos(n*x)*dx}[x:0~Pi] C0=0 Cn*Pi ≫ Cn=(2/Pi)*[1-cos(n*Pi)]/n^2 n:奇数 のとき 1-cos(n*Pi)=2 C1=4/Pi C3=(4/Pi)/9 C5=(4/Pi)/25 n:偶数 のとき 1-cos(n*Pi)=0 C2=C4=C6=…=0 偶関数の三角波 f(x)=(Pi/4)*[cos(x)+cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+…] ★. 元の三角波(原点をずらす前)は x->x-Pi/2 と置き換えればよい cos(x-Pi/2)=sin(x) cos[3*(x-Pi/2)]=cos(3*x-3*Pi/2)=-sin(3*x) cos[5*(x-Pi/2)]=cos(5*x-5*Pi/2)=sin(5*x) … 奇関数の三角波 f(x)=(Pi/4)*[sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25+…] ★. {別解} 原点をずらさないで計算すると、 Sn*Pi Sn=(4/Pi)*sin(n*Pi/2)/n^2 n:偶数 のとき sin(n*Pi/2)=0 n:奇数 のとき sin(Pi/2)=1 sin(3*Pi/2)=-1 … 奇関数の三角波 f(x)=(Pi/4)*[sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25+…] ★. {おちついて計算すれば、できるものだな!2015/10} |
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◆ 周期 [x:-Pi~Pi] の周期関数 f(x)=x^2 偶関数 ■ S1=S2=S3=…=0 C0*Pi=${x^2*dx}[x:0~Pi]=[x^3/3][x:0~Pi]=Pi^3/3 C0=Pi^2/3 C1*Pi C2*Pi C4=1/4 周期 [x:-Pi~Pi]
のとき x^2 ■ x=0
とおくと、 ■ x=Pi/2
とおくと、 ■ x=Pi
とおくと、 |
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◎ ${f(t)^2}dt を求めよう。 ● f(x)=Avg{f(t)}+C1*Ct+C2*C2t+C3*C3t…+S1*St+S2*S2t+S3*S3t+… C1=2*Avg{f(t)*Ct} C2=2*Avg{f(t)*C2t} ■ 周期 T として、${f(t)^2}dt[0~T] を考える。多くの項の積分が 0 になる。残るのは、 ${f(t)^2}dt[0~T]=T*(A0)^2 ▲
parseval の等式 エネルギのー定理 |
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◎ エネルギーの定理を利用して、無限級数の和 を求めることができる。 ● 長方形の波のフーリエ級数展開で、k=1 とすれば、 f(x)=[4/Pi]*(sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…) ■ 長方形の波の式に、エネルギー定理を適用すれば、 左辺=${f(x)^2*dx}[-Pi~Pi]=2Pi 右辺=Pi*[4/Pi]^2*[1+1/9+1/25+…] 1+1/9+1/25+…=Pi^2/8~1.23 {別解}三角波のフーリエ級数で、x=0 とすれば、 0=1/2-[4/Pi^2]*{1+1/9+1/25+…} 1+1/9+1/25+…=Pi^2/8~1.23 ■ 三角波の式に、エネルギー定理を適用すれば、 周期 2 f(x)=|x| 左辺=2*${x^2}dt[0~1]=2/3 右辺=2*(1/2)^2+[4/Pi^2]^2*[1^2+(1/9)^2+(1/25)^2+…] 1+1/3^4+1/5^4+1/7^4+…=Pi^4/96~1.01 ■ 1+1/16+1/81+…~1+0.06+0.01+…~1.07… 放物線波の式に、エネルギー定理を適用すれば、 周期 2Pi f(x)=x^2 f(x)=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9- …] Avg{x^4}=Pi^4/5 (A0)^2+(1/2)*[(C1)^2+(C2)^2+…+(S1)^2+(S2)^2+…] 1+1/16+1/81+…=Pi^4*(1/5-1/9)/8=Pi^4/90~1.08 ★
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★ フーリエ級数 ★ |