お勉強しよう 〕 数学 三角関数

2017/2-2011 Yuji.W

☆三角形.正弦,余弦定理

. 三角形の辺の長さと角に関する定理 余弦cos 正弦sin ヘロンの公式

☆10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分;x 時間微分' 積分$ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#

◇余弦定理◇

◆ △OAB において、次のような関係がある。

 AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB)

{証明} AB を、OA,OB,∠AOB で表すことを考える。三平方の定理を使いたいので、図のように、直角三角形OAH,ABH を作る。∠OHA=∠R

 AB^2
=AH^2+BH^2
=(OA^2-OH^2)+(OB-OH)^2
=OA^2-OH^2+OB^2+OH^2-2*OB*OH
=OA^2+OB^2-2*OB*OH

ここで OH=OA*cos(∠AOB) だから、

  AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB) 』

{別解もいろいろあるが、これが一番すっきりしているみたい!2013/12}

{別解} ベクトルを使う。◇ ベクトル<> 内積*

 <AB>=<OB>-<OA> だから、

 AB^2
=<AB>*<AB>
=(<OB>-<OA>)*(<OB>-<OA>)
=OA^2+OB^2-2*<OA>*<OB>

ここで <OA>*<OB>=OA*OB*cos(∠AOB) だから、

 AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB) 』

◇余弦定理、正弦定理◇

◆ △OAB ∠O=o ∠A=a ∠B=b ∠Bの外角=\b

■ 2辺とその間の角がわかると、残りの辺の長さがわかる

 AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(o)〔〕余弦定理

★ o=0 AB^2=(OA-OB)^2 AB=|OA-OB|

★ o=Pi/2 AB^2=OA^2+OB^2 三平方の定理

★ o=Pi AB^2=(OA+OB)^2 AB=OA+OB

■ 3辺がわかると、角の大きさはすべてわかる。例えば、

 cos(o)=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2*OA*OB)〔〕余弦定理

★ OA=1 OB=2 AB=root3

 cos(o)=(1+4-3)/(2*1*2)=1/2 o=Pi/3

■ AB/sin(o)=OB/sin(a)=OA/sin(b)=外接円の直径〔〕正弦定理

1辺とその両端の角がわかると、残りの辺の長さがわかる。
2辺とその間の角がわかると、残りの角がわかる。

■ 正弦定理の利用 AB/sin(\b-a)=OB/sin(a)

 OB*(sin(\b)*cos(a)-cos(\b)*sin(a)]=AB*sin(a)

 OB*sin(\b)*cos(a)=(AB+OB*cos(\b)]*sin(a)

 tan(a)=OB*sin(\b)/[AB+OB*cos(\b)]〔〕外角の正弦定理

{別解} 図形的に考えても簡単にできる。

直角三角形を作って tan(a)=高さ/底辺 を求めればよい。{2014/5!}

「余弦定理、正弦定理」

◆ △OAB ∠O=o ∠A=a ∠B=b ∠Bの外角=\b

■ AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(o) 余弦定理

■ AB/sin(o)=OB/sin(a)=OA/sin(b)=外接円の直径 正弦定理

■ tan(a)=OB*sin(\b)/[AB+OB*cos(\b)] 外角の正弦定理

◇外角を使って◇

◎ 外角を使った場合の2辺挟角

◆ 下図において、e,x を定めると、2辺挟角を決めた事になるから、三角形の大きさと形が決まる。辺 x の長さは固定し、角 e の大きさを変化させると、a,y が変化する。{ここがあやふやで、以下の式に取り組もうとするから、わからなくなる!2016/4}

■【 a のとりうる値 】

x を固定し、0<e<Pi で変化させる。a と y が変化する。

x>1 のとき a の変域 0<a<Pi

x=1 のとき 二等辺三角形 a=e/2 a の変域 0<a<Pi/2

x<1 のとき a の最大値 a_max a の変域 0<a≦a_max

 a=a_max となるとき 直角三角形 sin(a_max)=x .

 a<a_max である a に対して e は2つの値を取りうる

■【 正弦定理 】x/sin(a)=y/sin(Pi-e)=y/sin(e) .

■【 a,e,x,y 】1=y*cos(a)+x*cos(Pi-e)=y*cos(a)-x*cos(e) .

■【 e,x ⇒ y 】

余弦定理より y^2=1+x^2-2*x*cos(Pi-e)=x^2+2*x*cos(e)+1 .

■【 e,x ⇒ a 】

 tan(a)
=sin(a)/cos(a)
=[sin(e)*x/y]/{[1+x*cos(e)]/y}
=sin(e)/[cos(e)+1/x] 
.

■【 a,x ⇒ y 】

余弦定理より x^2=1+y^2-2*y*cos(a)

 y^2-2*cos(a)*y+1-x^2=0

y の2次方程式として解くと、

 y=cos(a)±root[cos(a)^2+x^2-1]=cos(a)±root[x^2-sin(a)^2] .

■【 a,x ⇒ e 】

 tan(a)=sin(e)/[cos(e)+1/x] から cos(e) を求める

cos(e)=h と置くと、

 tan(a)=root(1-h^2)/(h+1/x)

 tan(a)*(h+1/x)=root(1-h^2)

両辺を2乗して tan(a)^2*(h+1/x)^2=1-h^2

 h^2+tan(a)^2*(h^2+2*tan(a)^2*h/x+tan(a)^2/x^2)-1=0

 h^2*[1+tan(a)^2]+2*tan(a)^2*h/x+tan(a)^2/x^2-1=0

 h^2/cos(a)^2+2*tan(a)^2*h/x+tan(a)^2/x^2-1=0

両辺に cos(a)^2 を掛けて、

 h^2+2*sin(a)^2*h/x+sin(a)^2/x^2-cos(a)^2=0

h の2次方程式として解いて、

 h=-sin(a)^2/x±root[sin(a)^4/x^2-sin(a)^2/x^2+cos(a)^2]

 rootの中
=sin(a)^2/x^2*[sin(a)^2-1]+cos(a)^2
=-sin(a)^2/x^2*cos(a)^2+cos(a)^2
=cos(a)^2*[1-sin(a)^2/x^2]

 h=-sin(a)^2/x±cos(a)*root[1-sin(a)^2/x^2]

 cos(e)=-sin(a)^2/x±cos(a)*root[1-sin(a)^2/x^2] .

『三角形.2辺挟角』 2016/4

◎ 外角を使った場合の2辺挟角

◆ 下図において、e,x を定めると、2辺挟角を決めた事になるから、
三角形の大きさと形が決まる。
辺 x の長さは固定し、角 e の大きさを変化させると、a,y が変化する。

■【 a のとりうる値 】

x<1 のとき a の最大値 a_max a の変域 0<a≦a_max

 a=a_max となるとき 直角三角形 sin(a_max)=x

 a<a_max である a に対して e は2つの値を取りうる

■【 正弦定理 】x/sin(a)=y/sin(Pi-e)=y/sin(e)

■【 a,e,x,y 】1=y*cos(a)+x*cos(Pi-e)=y*cos(a)-x*cos(e)

■【 e,x ⇒ y,a 】y^2=x^2+2*x*cos(e)+1

 tan(a)=sin(e)/[cos(e)+1/x]

■【 a,x ⇒ y,e 】y=cos(a)±root[x^2-sin(a)^2]

 cos(e)=-sin(a)^2/x±cos(a)*root[1-sin(a)^2/x^2]

 

◇余弦定理-複素平面◇

複素平面を使って、三角形の余弦定理を導きだそう。

● 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x)

虚数 Za その絶対値 |Za| その偏角 a Za=|Za|*expi(a)

 expi(a)*expi(b)=expi(a+b)

Za の複素共役 \Za=|Za|*expi(-a)

オイラーの公式 expi(a)=cos(a)+i*sin(a)

◆ △OAB を複素平面に置く。

 O ⇔ 原点 A ⇔ Za=|Za|*expi(a) B ⇔ Zb=|Zb|*expi(b)

■ AB^2
=|Za-Zb|^2
=(Za-Zb)*(\Za-\Zb)
=[|Za|*expi(a)-|Zb|*expi(b)]*[|Za|*expi(-a)-|Zb|*expi(-b)]

ここで expi(a)*expi(-a)=expi(a-a)=expi(0)=1 などより、

 AB^2
=|Za|^2+|Zb|^2-|Za|*|Zb|*[expi(a)*expi(-b)+expi(b)*expi(-a)]

オイラーの公式を使って、

 expi(a)*expi(-b)+expi(b)*expi(-a)
=expi(a-b)+expi(b-a)
=[cos(a-b)+i*sin(a-b)]+[cos(b-a)+i*sin(b-a)]
=[cos(a-b)+i*sin(a-b)]+[cos(a-b)-i*sin(a-b)]
=2*cos(a-b)

だから、

 AB^2
=|Za|^2+|Zb|^2-2*|Za|*|Zb|*cos(a-b)
=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB) 』

◇正弦定理◇

◆ △ABC において、次のような関係がある。△の外接円の直径 D

 AB/sin(c)=BC/sin(a)=CA/sin(b)=D

■ △ABCの頂点Aから、底辺BCに垂線を引き、その足を H とする。

 AH⊥BC 直角三角形ABH,ACH ができる。

 AH=AB*sin(b)=AC*sin(c) だから、

 AB/sin(c)=AC/sin(b)

他の辺や角でも、同様な事が成り立つから、

 AB/sin(c)=BC/sin(a)=CA/sin(b)

また、△ABC の外接円を描く。辺ABの位置を変えないで、点Cを円周上に動かしていく。円周角∠C は変化しない。適当に動かせば、a=∠R とすることができる。そのとき、BC は、外接円の直径になる。

 AB/sin(c)=BC=D 外接円の直径

したがって AB/sin(c)=BC/sin(a)=CA/sin(b)=D

◇ヘロンの公式◇

◎ 三角形の面積を求める

■ 三角形の3辺の長さ a,b,c s=(a+b+c)/2 面積 S

 S=root[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)] .ヘロンの公式

{証明}

三角形 3辺の長さ a,b,c s=(a+b+c)/2 直角三角形を図のように作る

元の三角形の面積 S=c*x/2

次の式から、x を求める root(a^2-x^2)+root(b^2-x^2)=c

両辺を2乗して、

 (a^2-x^2)+2*root[(a^2-x^2)*(b^2-x^2)]+(b^2-x^2)=c^2

 2*root[(a^2-x^2)*(b^2-x^2)]=c^2-a^2-b^2+2*x^2

もう1度、両辺を2乗して、

 4*(a^2-^2)*(b^2-x^2)=c^2-a^2-b^2+2*x^2

 4*[x^4-(a^2+b^2)*x^2+a^2*b^2]
=4*x^4+4*x^2*(c^2-a^2-b^2)+(c^2-a^2-b^2)^2

 4*c^2*x^2=4*a^2*b^2-(c^2-a^2-b^2)^2

 右辺
=[2*a*b+(c^2-a^2-b^2)]*[2*a*b-(c^2-a^2-b^2)]
=[c^2-(a-b)^2)]*[(a+b)^2-c^2]
=(c+a-b)*(c-a+b)*(a+b+c)*(a+b-c)
=(a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c)

ここで s=(a+b+c)/2 を使うと

 右辺
=(2*s)*[2*(s-a)]*[2*(s-b)]*[2*(s-c)]
=16*s*(s-a)*(s-b)*(s-c)

まとめると 4*c^2*x^2=16*s*(s-a)*(s-b)*(s-c)

 c*x=2*root[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)]

 面積 S=c*x/2=root[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)] . ‖

{きれいに証明できたと思う!2016/8}

◇円周率>3.05 の証明◇

◎ 円周率は 3.05 より大きくなることを証明しよう。(東大の入試問題)

◆ 円周率 Pi 半径 1 の円の周の長さ 2*Pi

その円に内接する正八角形の1辺の長さを L とする。

 2*Pi>8*L Pi>4*L

■ Pi>4*L だから Pi^2>16*L^2

ここで 16*L^2>3.05^2=9.3025 となっていれば、

 Pi>3.05 が言える。

以下、L を求めたい。

正八角形の各頂点と、その外接円の中心とを結び、8つの合同な二等辺△を作る。そのひとつを、△OAB とすると、

 OA=OB=1 ∠AOB=45° AB=L

余弦定理より AB^2
=1^2+1^2-2*1*1*cos(45°)
=2-root2
=0.585…

 L^2=AB^2>0.585 (4*L)^2=16*L^2>0.585*16=9.36>9.3025

 Pi>4*L>root(9.3025)=3.05

{40年前の私だったら、解けなかった!2013/12}

◇円周を求める◇

◎ 円に内接する正多角形の周の長さを求める

◆ 半径 1/2 の円に内接する正 4*n 角形の周の長さ L

頂点と中心を結んで、二等辺三角形を作る その中心角 a=2Pi/(4*n)=Pi/(2*n)

■ 底辺の長さ=2*(1/2)*sin(a/2)=sin[Pi/(4*n)]

 L=(4*n)*sin[Pi/(4*n)]=4*n*sin[Pi/(4*n)]〔

★ n=1 正方形 L=4*sin(Pi/4)=2*root2~2.82

★ n=2 正八角形 L=8*sin(Pi/8)~3.06 3.05より大きい{!}

★ n=3 正十二角形 L=12*sin(Pi/12)~3.11

★ n=10 正40角形 L=40*sin(Pi/40)~3.138

★ n=100 正400角形 L=400*sin(Pi/400)~3.14156

★ n=1000 L=4000*sin(Pi/4000)~3.141592

★ n=10000 L=10000*sin(Pi/10000)~3.14159260

★ n=100000 L=100000*sin(Pi/100000)~3.141592653585

※ Pi=3.141592653589 {すごい、うまくいくものだな!2014/6}

※ x=1/(1/x)=Pi/(Pi/x)

 lim[x->∞]{x*sin(Pi/x)}
=lim[x->∞]{Pi*[sin(Pi/x)/(Pi/x)]}
=Pi*lim[x->∞]{[sin(Pi/x)/(Pi/x)]}
=Pi*1
=Pi

 L=4*n*sin[Pi/(4*n)] の n を大きくすると、Pi を求めることになるのはあたりまえ。

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