uz正多角形の周の長さ

☆ 正多角形の周の長さ ☆

〇円周率>3.05　2023.4-2013.2　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　　000　

〓　円周率>3.05 の証明　〓　

▢ 円周率>3.05 の証明

▷ ▢ 円周率 Pi　半径 1 の円の周の長さ 2*Pi
その円に内接する正八角形の1辺の長さを L とする。
　2*Pi>8*L　Pi>4*L
▷ Pi>4*L　だから　Pi^2>16*L^2
ここで　16*L^2>3.05^2=9.3025　となっていれば、
　Pi>3.05　が言える。
以下、L を求めたい。
正八角形の各頂点と、その外接円の中心とを結び、8つの合同な二等辺△を作る。そのひとつを、△OAB とすると、
　OA=OB=1　∠AOB=45°　AB=L
余弦定理より　AB^2
=1^2+1^2-2*1*1*cos(45°)
=2-root2
=0.585…
　L^2=AB^2>0.585　(4*L)^2=16*L^2>0.585*16=9.36>9.3025
　Pi>4*L>root(9.3025)=3.05
{40年前の私だったら、解けなかった!2013/12}

▷

▲

〓　円周を求める　〓　

▢ ◎ 円に内接する正多角形の周の長さを求める
▢ 半径 1/2 の円に内接する正 4*n 角形の周の長さ L
頂点と中心を結んで、二等辺三角形を作る　その中心角 a=2Pi/(4*n)=Pi/(2*n)
▷ 底辺の長さ=2*(1/2)*sin(a/2)=sin[Pi/(4*n)]
　L=(4*n)*sin[Pi/(4*n)]=4*n*sin[Pi/(4*n)]〔★〕
★ n=1　正方形　L=4*sin(Pi/4)=2*root2~2.82
★ n=2　正八角形　L=8*sin(Pi/8)~3.06　3.05より大きい{!}
★ n=3　正十二角形　L=12*sin(Pi/12)~3.11
★ n=10　正40角形　L=40*sin(Pi/40)~3.138
★ n=100　正400角形　L=400*sin(Pi/400)~3.14156
★ n=1000　L=4000*sin(Pi/4000)~3.141592
★ n=10000　L=10000*sin(Pi/10000)~3.14159260
★ n=100000　L=100000*sin(Pi/100000)~3.141592653585
※ Pi=3.141592653589　{すごい、うまくいくものだな!2014/6}
※ x=1/(1/x)=Pi/(Pi/x)
　lim[x->∞]{x*sin(Pi/x)}
=lim[x->∞]{Pi*[sin(Pi/x)/(Pi/x)]}
=Pi*lim[x->∞]{[sin(Pi/x)/(Pi/x)]}
=Pi*1
=Pi
　L=4*n*sin[Pi/(4*n)] の n を大きくすると、Pi を求めることになるのはあたりまえ

▷

▲

〓　　〓　

▢

▷

▲

〓　　〓　

▢

▷

▲

〓　　〓　

▢

▷

▲

〓　　〓　

▢

▷

.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.

▷

▲

☆ uzお勉強しよう　since2011　Yuji.W