☆お勉強しようUz☆ 数学.三角関数

2016/4-2012 Yuji.W

三角関数の公式

◎ 積和 和積 倍角 半角 2乗 合成

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆tan☆

「tan の公式」 {使えると便利!2014/5}

■ tan(a)=sin(a)/cos(a) tan(-a)=-tan(a)

 tan(Pi/2-a)=1/tan(a) tan(Pi-a)=-tan(a)

■ sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)=cos(a)*cos(b)*(tan(a)+tan(b))

■ cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)=cos(a)*cos(b)*(1-tan(a)*tan(b))

■ tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b))

■ 1+tan(a)^2=1/cos(a)^2

{証明} tan(a+b)
=sin(a+b)/cos(a+b)
=(sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b))/(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)) 分母・分子を cos(a)*cos(b) で割って、
=(sin(a)/cos(a)+sin(b)/cos(b))/[1-sin(a)*sin(b)/(cos(a)*cos(b))]
=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)) 』

{面倒くさいと思ったけど、簡単だった!2014/5}

{証明} cos(a)*cos(b)*(1-tan(a)*tan(b))
=cos(a)*cos(b)*[1-sin(a)*sin(b)/(cos(a)*cos(b))]
=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
=cos(a+b)

{証明} sin(a+b)^2
=(sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b))^2
=sin(a)^2*cos(b)^2+2*sin(a)*cos(b)*cos(a)*sin(b)+cos(a)^2*sin(b)^2
=cos(a)^2*cos(b)^2*[sin(a)^2/cos(a)^2+2*sin(a)*sin(b)
/(cos(a)*cos(b))+sin(b)^2/cos(b)^2]
=cos(a)^2*cos(b)^2*[tan(a)^2+2*tan(a)*tan(b)+tan(b)^2]
=cos(a)^2*cos(b)^2*(tan(a)+tan(b))^2 』

◇積->和◇

◆2つの三角関数の積は、2つの三角関数の和に直すことができる。

「三角関数 積->和」

@ sin(a)*cos(b)=(1/2)*[sin(a+b)+sin(a-b)]

A cos(a)*cos(b)=(1/2)*[cos(a+b)+cos(a-b)]

B sin(a)*sin(b)=(1/2)*[cos(a-b)-cos(a+b)]

{証明}右辺を、加法定理で展開すればよい。

@右辺*2
=(sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b))+(sin(a)*cos(b)-cos(a)*sin(b))
=2*sin(a)*cos(b)

A右辺*2
=(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))+(cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b))
=2*cos(a)*cos(b)

B右辺*2
=(cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b))-(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))
=2*sin(a)*sin(b)

◇和->積◇

◆2つの三角関数の和は、2つの三角関数の積に直すことができる。

「三角関数 和->積」

@ sin(x)+sin(y)=2*sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

A sin(x)-sin(y)=2*cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

B cos(x)+cos(y)=2*cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

C cos(x)-cos(y)=-2*sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

{証明}右辺の積を和に直せばよい。

 (x+y)/2+(x-y)/2=x (x+y)/2-(x-y)/2=y だから、

@右辺=sin(x)+sin(y)

A右辺=sin(x)+sin(-y)=sin(x)-sin(y)

B右辺=cos(x)+cos(y)

C右辺=cos(y)-cos(x)=-(cos(x)-cos(y))

◇和->積の図形による証明◇

図による証明を考えてみた。2012/6/12

は直角

■ AP+AR=cos(x)+cos(y) @

BP‖MQ‖RC & BM=CM より、PQ=QR A

@Aより 2*AQ=AP+AR=cos(x)+cos(y) B

一方、△AMQ で、AQ=AM*[cos(x-y)/2]=[cos(x+y)/2]*[cos(x-y)/2] C

BCより、cos(x)+cos(y)=2*[cos(x+y)/2]*[cos(x-y)/2] 』

■ PR と BC の交点を Z とする。

直角三角形 ABP と ACR で、BP=sin(x) CR=sin(y) @

直角三角形 ZBP と ZCR で、∠PBM=∠MCR=(x-y)/2 だから、

 BP=BZ*cos[(x-y)/2] CR=CZ*cos[(x-y)/2]
 BP+CR=cos[(x-y)/2]*(BZ+CZ)=cos[(x-y)/2]*BC
=cos[(x-y)/2]*2*BM=2*sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] A

@Aより、sin(x)+sin(y)=2*sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] 』

◇倍角の公式◇

◆sin(2*a) や cos(2*a) を、cos(a),sin(a) で表したい。

「倍角の公式」

■ sin(2*a)=2*sin(a)*cos(a) cos(2*a)=2*(cos(a)^2-1/2)=2*cos(a)^2-1

{証明}加法定理で、a=b とすればよい。

 sin(2*a)=sin(a)*cos(a)+cos(a)*sin(a)=2*sin(a)*cos(a) 

 cos(2*a)=cos(a)*cos(a)-sin(a)*sin(a)=cos(a)^2-sin(a)^2=2*cos(a)^2-1 

{別解}cos(a) a=0 で 1 周期 2Pi 振幅 1 平均値 0

 cos(2*a) a=0 で 1 周期 Pi 振幅 1 平均値 0

 cos(a)^2 >0 a=0 で 1 周期 Pi 振幅 1/2 平均値 1/2

以上の関係から、cos(2*a)=2*(cos(a)^2-1/2)

◇2乗の公式◇

◆sin(a)^2 や cos(a)^2 を、cos(2*a) で表したい。

「2乗の公式」

■ cos(a)^2-sin(a)^2=cos(2*a) ※cos(a)^2+sin(a)^2=1

{証明}積->和 の公式で b=a とすればよい。

 cos(a)^2=cos(a)*cos(a)=(1/2)*[cos(2*a)+cos(0)]=(1/2)*[1+cos(2*a)]

 sin(a)^2=1-cos(a)^2=(1/2)*[1-cos(2*a)]

{別解}cos(a) a=0 で 1 周期 2Pi 振幅 1 平均値 0

 cos(2*a) a=0 で 1 周期 Pi 振幅 1 平均値 0

 cos(a)^2 >0 a=0 で 1 周期 Pi 振幅 1/2 平均値 1/2

以上の関係から、cos(a)^2=1/2+(1/2)*cos(2*a)

◇半角の公式◇

◆sin(a/2)^2 や cos(a/2)^2 を cos(a) で表したい。

「半角の2乗の公式」

■ sin(a/2)^2=(1-cos(a))/2 cos(a/2)^2=(1+cos(a))/2

■ sin(a)^2=[1-cos(2*a)]/2 cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2

■ cos(a)^3=[3*cos(a)+cos(3*a)]/4

 sin(a)^3=(3/4)*sin(a)-(1/4)*sin(3*a)

{証明}2乗の公式で、a を a/2 に置き換えればよい。

 sin(a)^2=(1/2)*[1-cos(2*a)] cos(a)^2=(1/2)*[1+cos(2*a)]

{別解} sin(a/2)^2=(1/2)*(1-cos(a))

二等辺三角形 OAB OA=OB=1 ∠AOB=a

余弦定理より AB^2=1^2+1^2-2*1*1*cos(a)=2-2*cos(a)

頂角に二等分線は、底辺を二等分するから AB=2*sin(a/2)

 2-2*cos(a)=[2*sin(a/2)]^2 sin(a/2)^2=(1-cos(a))/2

■ cos(a)^3
=cos(a)*cos(a)^2
=cos(a)*[1+cos(2*a)]/2
=cos(a)/2+cos(a)*cos(2*a)/2
=cos(a)/2+cos(a)*cos(2*a)/2

ここで  cos(a)*cos(2*a)=(1/2)*[cos(3*a)+cos(a)] だから、

 cos(a)^3=cos(a)/2+[cos(3*a)+cos(a)]/4=3*cos(a)/4+cos(3*a)/4

■ sin(a)^3
=sin(a)*sin(a)^2
=sin(a)*[1-cos(2*a)]/2
=sin(a)/2-sin(a)*cos(2*a)/2   sin(a)*cos(b)=(1/2)*[sin(a+b)+sin(a-b)]
=sin(a)/2-[sin(3*a)-sin(a)]/4
=(3/4)*sin(a)-(1/4)*sin(3*a)

★ a=45°

 sin(45°)^3=(1/root2)^3=root2/4

 (3/4)*sin(a)-(1/4)*sin(3*a)
=(3/4)*sin(45°)-(1/4)*sin(135°)
=(3/4)/root2-(1/4)/root2
=root2/4

◇半角の公式のグラフ◇

sin(a/2)^2=(1/2)*(1-cos(a)) を、グラフで確認しょう。x の単位は Pi


不思議、おもしろいなあ{!}

◇三角関数の合成◇

A,B が任意の値をとるとき、A*sin(x)+B*cos(x)=C*sin(x+a) の形にしたい。

「三角関数の合成」

■ A*sin(x)+B*cos(x)=root(A^2+B^2)*sin(x+a) 

 ただし、B/A=tan(a)

{証明}右辺=root(A^2+B^2)*[sin(x)*cos(a)+cos(x)*sin(a)]
=root(A^2+B^2)*cos(a)*sin(x)+root(A^2+B^2)*sin(a)*cos(x) だから、

 A=root(A^2+B^2)*cos(a) B=root(A^2+B^2)*sin(a) と置いていることがわかる。このとき、

 cos(a)^2+sin(a)^2=[A/root(A^2+B^2)]^2+[B/root(A^2+B^2)]^2=1

になるから、そのように置けるような値 a が存在することがわかる。

{別解}tan(a)=B/A だから

 root(A^2+B^2)=root[A^2+A^2*sin(a)^2/cos(a)^2]=A/cos(a)

 右辺=(A/cos(a))*[sin(x)*cos(a)+cos(x)*sin(a)]
=A*sin(x)+(A*sin(a)/cos(a))*cos(x)
=A*sin(x)+B*cos(x)=左辺 』

◇三角関数の合成-図形的証明◇

◎三角関数の合成の式

 A*sin(x)+B*cos(x)=root(A^2+B^2)*sin(x+a) ただし、B/A=tan(a)

を、図形的に証明してみよう。{簡単にできた!2012/12}

直角

◆直角三角形OPQ A,B,root(A^2+B^2) ∠QOP=a B/A=tan(a)

x° 傾けて置くと QS=root(A^2+B^2)*sin(x+a) となる。

■ 直角三角形OTP,直角三角形QVP ∠POT=∠PQV=x だから、

 SV=TP=A*sin(x) VQ=B*cos(x)

QS=SV+VQ だから、

 root(A^2+B^2)*sin(x+a)=A*sin(x)+B*cos(x) 』

  三角関数の公式  

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