☆ 三角関数.加法定理 ☆

《 uzお勉強しよう　数学 》

〇 sin(a+b)　cos(a+b)　2023.6-2011　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　　000　

〓　三角関数.加法定理　〓　

▢ 4つの直角三角形 △OAB , △OBC , △CPB , △OHC

　OC=1　sin(a+b)=CH　cos(a+b)=OH

▷ ∠BCP=∠PBO=∠AOB=b　だから　△CBP において、

　CP=CB*cos(b)=sin(a)*cos(b)　PB=CB*sin(b)=sin(a)*sin(b)

また　△OAB において、

　OA=OB*cos(b)=cos(a)*cos(b)　AB=OB*sin(b)=cos(a)*sin(b)

⇨　sin(a+b)=CH=CP+PH=CP+AB=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

また　cos(a+b)=OH=OA-AH=OA-PB=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)

≫ sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)　cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)　★　

{すっきり証明できた!2021.1}　

▷ a=b のとき　sin(2*a)=2*sin(a)*cos(a)　★　

また　cos(2*a)=cos(a)^2-sin(a)^2=2*cos(a)^2-1　★　

▷ cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2　sin(a)^2=[1-cos(2*a)]/2　★　

〓　三角関数.加法定理　〓　23.6　

〇 sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)　cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)　

〇 倍角　sin(2*a)=2*sin(a)*cos(a)　cos(2*a)=2*cos(a)^2-1　

〇 2乗　cos(a)^2=[1+cos(2*a)]/2　sin(a)^2=[1-cos(2*a)]/2　

〓　{計算例}三角関数.加法定理　〓　23.6

★ sin(120°)
=sin(90°+30°)
=sin(90°)*cos(30°)+cos(90°)*sin(30°)　
=1*root(3)/2+0*sin(30°)　
=root(3)/2　

　cos(120°)
=cos(90°+30°)
=cos(90°)*cos(30°)-sin(90°)*sin(30°)
=0*cos(30°)-1*(1/2)
=-1/2　

★ sin(60°)=sin(30°*2)=2*sin(30°)*cos(30°)=2*(1/2)*[root(3)/2]=root(3)/2　

　cos(60°)=cos(30°*2)=2*cos(30°)^2-1=2*[root(3)/2]^2-1=3/2-1=1/2　

★ cos(45°)^2=[1+cos(90°)]/2=(1+0)/2=1/2　

　sin(45°)^2=[1-cos(90°)]/2=(1-0)/2=1/2　

〓　オイラーの公式を使って　〓　

◇ ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)

▢ オイラーの公式　expi(x)=cos(x)+i*sin(x)

▷ expi(a+b)＝expi(a)*expi(b)

三角関数に直すと、

　(左辺)＝cos(a+b)+i*sin(a+b)

　(右辺)
＝[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=[cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)]+i*[sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)]

実数部と虚数部をそれぞれ比べて、

　cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
　sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)　∥　

{オイラーの公式、恐るべし！2011}

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