☆お勉強しようUz☆ 数学.三角関数

2016/8-2011 Yuji.W

加法定理

◎ cos(a+b)=Ca*Cb-Sa*Sb sin(a+b)=Sa*Cb+Ca*Sb

☆10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分;x 時間微分' 積分$ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#

◇証明-三角形を使って◇

▲ 直角   角 a,b {上の角を a としたのが核心!}

■ 上図を1分ぐらいじーと見てれば、以下、簡単にわかる。

 cos(a+b)=Ca*Cb-Sa*Sb sin(a+b)=Sa*Cb+Ca*Sb 』

{以上のような証明が教科書に載っていればなあ。cos や sin の意味の確認にもなるし…、式の暗記にも役立つし…!2014/1}

◇証明2-三角形を使って◇

◆ 斜辺の長さ 1 の直角三角形を2つ作る。1つの直角三角形の鋭角を a、他の直角三角形の鋭角を b とし、以下の図のように並べる。

直角三角形ABO,CDO

さらに、直角三角形CDS,PRO,QCO を作る。図の ☆ が直角を表す。

簡単な関係より、∠CDS=a であることわかる。{ポイント!}

したがって、

 △ABO=△QCO=△PRO=△SCD

以下の長さを求めたい。

 sin(a+b)=DP=DS+SP=DS+CQ

 cos(a+b)=OP=OQ-PQ=OQ-SC

■ DS=CD*Ca=Sb*Ca CQ=OC*Sa=Cb*Sa だから、

 sin(a+b)=DS+CQ=Sb*Ca+Cb*Sa=Sa*Cb+Ca*Sb 』

■ OQ=OC*Ca=Cb*Ca SC=DC*Sa=Sb*Sa だから、

 cos(a+b)=OQ-SC=Cb*Ca-Sb*Sa=Ca*Cb-Sa*Sb 』

{取りあえず、以上のような証明を教科書に書いてあれば、納得できたと思う。その後、正式な、計算のみの証明があっても、理解しやすいと思う!いきなり、難しい、式だけの証明が出てきても、納得できない!無理矢理、結果だけ覚える。使えない!2012/12}

◇証明3-三角形を使って◇

◆ 斜辺1、鋭角(a+b) の直角三角形を作る。a と b で分けて、別の直角三角形を作る。

 

 ∠C=∠E=∠R AB=1

 ∠BAD=a ∠DAC=b すると、∠DBE=b

以下の長さを求めたい。

 sin(a+b)=BC=BD+DC

 cos(a+b)=AC

■ BE=Sa BD=BE/Cb=Sa/Cb

 DE=BE*tan(b)=Sa*(Sb/Cb)

 AD=AE-DE=Ca-Sa*Sb/Cb

 DC=AD*Sb=Ca*Sb-Sa*(Sb)^2/Cb

 BC=BD+DC=Sa/Cb+[Ca*Sb-Sa*(Sb)^2/Cb]
=(Sa/Cb)*[1-(Sb)^2]+Ca*Sb=(Sa/Cb)*(Cb)^2+Ca*Sb
=Sa*Cb+Ca*Sb 』{ちゃんどできた!2011}

■ AC=AD*Cb=(Ca-Sa*Sb/Cb)*Cb=Ca*Cb-Sa*Sb 』{素晴らしい!}

◇証明-オイラーの定理を使って◇

|表示| 虚数単位 i

● オイラーの公式 expi(x)=Cx+i*Sx

■ 指数関数だから

 expi(a+b)=expi(a)*expi(b)

三角関数に直すと、

 左辺=cos(a+b)+i*sin(a+b)

 右辺=[Ca+i*Sa]*[Cb+i*Sb] を展開して、まとめると

 右辺=[Ca*Cb-Sa*Sb]+i*[Sa*Cb+Ca*Sb]

実数部と虚数部をそれぞれ比べて、

 cos(a+b)=Ca*Cb-Sa*Sb sin(a+b)=Sa*Cb+Ca*Sb 』

{オイラーの公式、恐るべし!2011}

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