〓　放物線の曲率半径　〓　

◎ そもそもの曲率半径の意味を考える

◆ 放物線 y=x^2　原点(x=0) での曲率半径 Rc(0)

x=0 での放物線の接線に垂直で、その接点を通る直線 L=y軸

微少量 h に対して　x=h での同様な直線 Lh

　Rc(0)=[L と Lh の交点と、原点との距離]

■ 直線 Lh　接線の傾き y;x=2*x　x=h で 2*h　点(h,h^2)を通る

　y-h^2=-(x-h)/(2*h)　y=-x/(2*h)+h^2+1/2

L と Lh の交点　x=0　y=h^2+1/2　h->0 で y=1/2

　 Rc=原点から交点までの長さ=1/2 ★

◆ 放物線 y=x^2　x=1 での曲率半径 Rc(1)

x=1 での放物線の接線に垂直で、その接点を通る直線 L

微少量 h に対して　x=1+h での同様な直線 Lh

■ 直線L　x=1 での接線の傾き 2　y=-x/2+3/2

直線 Lh　y=-x/[2*(1+h)]+1/2+(1+h)^2=-x/[2*(1+h)]+3/2+2*h　　h^2 は無視

交点を求める　-x/2+3/2=-x/[2*(1+h)]+3/2+2*h

　x*h/[2*(1+h)]=-2*h　x=-4*(1+h)

　y=+2*(1+h)+3/2=7/2+2*h

h->0 での交点の座標 (-4,7/2)

　Rc(1)^2=(-4-1)^2+(7/2-1)^2=25+25/4=125/4　Rc(1)=5*root5/2 ★

〓　曲率半径 y=f(x)　〓　

◎ 平面上の図形 y=f(x) の曲率半径

◇ 曲率半径 Rc(x)　曲率=1/Rc(x)

◆ 平面上の図形 y=f(x)　■ Rc(x)=[1+(y;x)^2]^(3/2)/|y;;x| ★

★ y=x^2　y;x=2*x　y;;x=2　Rc(x)=(1+4*x^2)^(3/2)/2

　Rc(0)=1/2　Rc(1/a)=5*root5/2

★ y=a*x^2　y;x=2*a*x　y;;x=2*a　Rc(x)=(1+4*a*x^2)^(3/2)/(2*a)

　Rc(0)=1/(2*a) ★

◆ 平面上の図形 (x(t),y(t))

■ y;x=y'/x'

　y;;x=(y;x);x=(y'/x')'/x'　ここで　(y'/x')'=(y''*x'-y'*x'')/(x')^2

　y;;x=(y''*x'-y'*x'')/(x')^3

　Rc(t)=[(x')^2+(y')^2]^(3/2)*/|y''*x'-y'*x''| ★

★ y=4*t^2　x=2*t

{解}　y'=8*t　y''=8　x'=2　x''=0

　Rc(t)=[4+64*t^2]^(3/2)*/16=(1+16*t^2)^(3/2)/2

x=0 のとき　t=0　Rc(0)=1/2　　x=1 のとき　t=1/2　Rc(1/2)=5*root5/2

★ y=(1/2)*g*t^2　x=v*t

{解}　y'=g*t　y''=g　x'=v　x''=0　Rc(t)=[v^2+g^2*t^2]^(3/2)*/(g*v)

　Rc(0)=v^2/g

{別解}　y=[g/(2*v^2)]*x^2　Rc(0)=1/{2*[g/(2*v^2)]}=v^2/g

〓　運動.曲率半径　〓　

◎ 運動 <r(t)> が与えられている場合

■ 運動　位置 <r(t)>　<v(t)>=<r(t)>'　|<v(t)>|=v(t)

<r(t)>''=<Ac(t)>　|<Ac(t)>|=Ac(t)

曲率半径 Rc

主法線 : <v>に垂直で、<v>,<r>''が定める平面上にある

加速度の速度方向(接線方向)ベクトル <Act>=<v>*v'/v　|<Act>|=v'

加速度の法線方向ベクトル <Acn>　|<Acn>|=v^2/Rc

　<Ac>=<Act>+<Acn>

　|<Ac>|^2
=(<Act>+<Acn>)*(<Act>+<Acn>)
=|<Act>|^2+2*<Act>*<Acn>+|<Acn>|^2
=|<Act>|^2+|<Acn>|^2　　{∵<Act>*<Acn>=0}

　|<Ac>|^2=|<Act>|^2+|<Acn>|^2

ここで　|<Ac>|=Ac　|<Act>|=v'　|<Acn>|=v^2/Rc

　Ac^2=v'^2+(v^2/Rc)^2

　v^2/Rc=root(Ac^2-v'^2)

　Rc=v^2/root(Ac^2-v'^2) ★

★ 円運動　<r>=R*<cos(w*t) sin(w*t)> 〔R,w:正の定数〕

　<v>=<r>'=R*w*<-sin(w*t) cos(w*t)>　v=|<r>'|=R*w　v'=0　<Act>=0

　<Ac>=<r>''=-R*w^2*<cos(w*t) sin(w*t)>　Ac=R*w^2

　Rc=(R*w)^2/(R*w^2)=R　{当然!2015/8}

★ 放物線運動　<r>=<t t^2>

　<v>=<r>'=<1 2*t>　v=root(1+4*t^2)　v'=4*t/root(1+4*t^2)

　<Ac>=<r>''=<0 2>　Ac=2

　Ac^2-v'^2=4-16*t^2/(1+4*t^2)=4/(1+4*t^2)

　Rc=(1+4*t^2)/[2/root(1+4*t^2)]=(1+4*t^2)^(3/2)/2

t=0 で　Rc=1/2

★ 楕円　<r>=<2*cos(t) sin(t)>

　<v>=<r>'=<-2*sin(t) cos(t)>

　v=root[4*sin(t)^2+cos(t)^2]=root[1+3*sin(t)^2]

　v'=3*sin(t)*cos(t)/root[1+3*sin(t)^2]

　<Ac>=<r>''=-<2*cos(t) sin(t)>

　Ac=root[4*cos(t)^2+sin(t)^2]=root[1+3*cos(t)^2]

　Ac^2-v'^2
=[1+3*cos(t)^2]-9*sin(t)^2*cos(t)^2/[1+3*sin(t)^2]
={[1+3*cos(t)^2]*[1+3*sin(t)^2]-9*sin(t)^2*cos(t)^2}/[1+3*sin(t)^2]

　分子=1+3*cos(t)^2+3*sin(t)^2=1+3=4

　Ac^2-v'^2=4/[1+3*sin(t)^2]

　Rc=[1+3*sin(t)^2]/{2/root[1+3*sin(t)^2]}=[1+3*sin(t)^2]^(3/2)/2

{長い間の謎が解けた!わかりやすい資料は見つからなかった!2015/7}

〓　主法線ベクトルを求める　〓　

■ 運動　位置 <r(t)>　速度 <v>=<r>'　|<v>|=v　<vu>=<v>/v

主法線ベクトル <n> [<v>に垂直　<v>,<r>''が定める平面上にある]

　<r>''=<vu>*v'+<n>=<v>*v'/v+<n>

　<n>=<r>''-<v>*v'/v　<n>=<nu>*|<n>| ★

★ <r>=<t t^3-1 2*t>　<v>=<1 3*t^2 2>　<r>''=<0 6*t 0>

　v=root(5+9*t^4)　v'=18*t^3/root(5+9*t^2)=18*t^3/v

　<n>=<r>''-<v>*v'/v=<0 6*t 0>-<1 3*t^2 2>*18*t^3/v^2

　y成分=6*t-3*t^2*18*t^3/v^2=(2*v^2-18*t^4)*3*t/v^2=30*t/v^2

　<n>=<-3*t^2　5　-6*t^2>*6*t/v^2

　|<n>|=root5*root(5+9*t^4)*6*t/v^2=6*root5*t/v

　<r>''=<vu>*18*t^3/v+<nu>*6*root5*t/v

★ 半径1の螺旋運動　<r>=<cos(t)　sin(t)　t+1>

　<v>=<-sin(t)　cos(t)　1>　<r>''=<-cos(t)　-sin(t)　0>　v=root2　v'=0

　<n>=<r>''-<v>*v'/v=<-cos(t)　-sin(t)　0>-0=<-cos(t)　-sin(t)　0>

　|<n>|=1　<r>''=<nu>

〓　楕円の曲率半径　〓　

◆ 楕円運動　x=A*cos(w*t)　y=B*sin(w*t)　曲率半径 Rc(t)

■ <r(t)>=<x y>=<A*cos(w*t)　B*sin(w*t)>

　<r(t)>'=w*<-A*sin(w*t)　B*cos(w*t)>

　<r(t)>''=-w^2*<A*cos(w*t)　B*sin(w*t)>

　|<r(t)>'|=w*root[A^2*sin(w*t)^2+B^2*cos(w*t)^2]

　|<r(t)>''|=w^2*root[A^2*cos(w*t)^2+B^2*sin(w*t)^2]

　Rc(t)=|<r(t)>'|^2/|<r(t)>''|
=[A^2*sin(w*t)^2+B^2*cos(w*t)^2]/root[A^2*cos(w*t)^2+B^2*sin(w*t)^2]

t=0 のとき　Rc(0)=B^2/A ★_

t=Pi/(2*w) のとき　Rc(Pi/(2*w))=A^2/B ★_

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji W. ☆