数学 図形

2015/8-2015/6 Yuji.W

曲率半径

◎ 曲率半径 曲率 法線 主法線 ☆ radius of curvature

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

☆放物線の曲率半径☆

◎ そもそもの曲率半径の意味を考える

◆ 放物線 y=x^2 原点(x=0) での曲率半径 Rc(0)

x=0 での放物線の接線に垂直で、その接点を通る直線 L=y軸

微少量 h に対して x=h での同様な直線 Lh

 Rc(0)=[L と Lh の交点と、原点との距離]

■ 直線 Lh 接線の傾き y;x=2*x x=h で 2*h 点(h,h^2)を通る

 y-h^2=-(x-h)/(2*h) y=-x/(2*h)+h^2+1/2

L と Lh の交点 x=0 y=h^2+1/2 h->0 で y=1/2

  Rc=原点から交点までの長さ=1/2 


◆ 放物線 y=x^2 x=1 での曲率半径 Rc(1)

x=1 での放物線の接線に垂直で、その接点を通る直線 L

微少量 h に対して x=1+h での同様な直線 Lh

■ 直線L x=1 での接線の傾き 2 y=-x/2+3/2

直線 Lh y=-x/[2*(1+h)]+1/2+(1+h)^2=-x/[2*(1+h)]+3/2+2*h  h^2 は無視

交点を求める -x/2+3/2=-x/[2*(1+h)]+3/2+2*h

 x*h/[2*(1+h)]=-2*h x=-4*(1+h)

 y=+2*(1+h)+3/2=7/2+2*h

h->0 での交点の座標 (-4,7/2)

 Rc(1)^2=(-4-1)^2+(7/2-1)^2=25+25/4=125/4 Rc(1)=5*root5/2 

◇曲率半径 y=f(x)◇

◎ 平面上の図形 y=f(x) の曲率半径

曲率半径 Rc(x) 曲率=1/Rc(x)

◆ 平面上の図形 y=f(x) ■ Rc(x)=[1+(y;x)^2]^(3/2)/|y;;x| 

★ y=x^2 y;x=2*x y;;x=2 Rc(x)=(1+4*x^2)^(3/2)/2

 Rc(0)=1/2 Rc(1/a)=5*root5/2

★ y=a*x^2 y;x=2*a*x y;;x=2*a Rc(x)=(1+4*a*x^2)^(3/2)/(2*a)

 Rc(0)=1/(2*a) 


◆ 平面上の図形 (x(t),y(t))

■ y;x=y'/x'

 y;;x=(y;x);x=(y'/x')'/x' ここで (y'/x')'=(y''*x'-y'*x'')/(x')^2

 y;;x=(y''*x'-y'*x'')/(x')^3

 Rc(t)=[(x')^2+(y')^2]^(3/2)*/|y''*x'-y'*x''| 

★ y=4*t^2 x=2*t

{解} y'=8*t y''=8 x'=2 x''=0

 Rc(t)=[4+64*t^2]^(3/2)*/16=(1+16*t^2)^(3/2)/2

x=0 のとき t=0 Rc(0)=1/2  x=1 のとき t=1/2 Rc(1/2)=5*root5/2

★ y=(1/2)*g*t^2 x=v*t

{解} y'=g*t y''=g x'=v x''=0 Rc(t)=[v^2+g^2*t^2]^(3/2)*/(g*v)

 Rc(0)=v^2/g

{別解} y=[g/(2*v^2)]*x^2 Rc(0)=1/{2*[g/(2*v^2)]}=v^2/g

◇運動.曲率半径◇

◎ 運動 <r(t)> が与えられている場合

■ 運動 位置 <r(t)> <v(t)>=<r(t)>' |<v(t)>|=v(t)

<r(t)>''=<Ac(t)> |<Ac(t)>|=Ac(t)

曲率半径 Rc

主法線 : <v>に垂直で、<v>,<r>''が定める平面上にある

加速度の速度方向(接線方向)ベクトル <Act>=<v>*v'/v |<Act>|=v'

加速度の法線方向ベクトル <Acn> |<Acn>|=v^2/Rc

 <Ac>=<Act>+<Acn>

 |<Ac>|^2
=(<Act>+<Acn>)*(<Act>+<Acn>)
=|<Act>|^2+2*<Act>*<Acn>+|<Acn>|^2
=|<Act>|^2+|<Acn>|^2  {∵<Act>*<Acn>=0}

 |<Ac>|^2=|<Act>|^2+|<Acn>|^2

ここで |<Ac>|=Ac |<Act>|=v' |<Acn>|=v^2/Rc

 Ac^2=v'^2+(v^2/Rc)^2

 v^2/Rc=root(Ac^2-v'^2)

 Rc=v^2/root(Ac^2-v'^2) 

『運動.曲率半径』 2015/8

◆ 運動 位置 <r(t)> 曲率半径 Rc

<v(t)>=<r(t)>' |<v(t)>|=v(t) <Ac(t)>=<r(t)>'' Ac(t)=|<Ac(t)>|

■ Ac^2=v'^2+(v^2/Rc)^2 Rc=v^2/root(Ac^2-v'^2)

円運動 <r>=R*<cos(w*t) sin(w*t)> 〔R,w:正の定数〕

 <v>=<r>'=R*w*<-sin(w*t) cos(w*t)> v=|<r>'|=R*w v'=0 <Act>=0

 <Ac>=<r>''=-R*w^2*<cos(w*t) sin(w*t)> Ac=R*w^2

 Rc=(R*w)^2/(R*w^2)=R {当然!2015/8}

放物線運動 <r>=<t t^2>

 <v>=<r>'=<1 2*t> v=root(1+4*t^2) v'=4*t/root(1+4*t^2)

 <Ac>=<r>''=<0 2> Ac=2

 Ac^2-v'^2=4-16*t^2/(1+4*t^2)=4/(1+4*t^2)

 Rc=(1+4*t^2)/[2/root(1+4*t^2)]=(1+4*t^2)^(3/2)/2

t=0 で Rc=1/2

楕円 <r>=<2*cos(t) sin(t)>

 <v>=<r>'=<-2*sin(t) cos(t)>

 v=root[4*sin(t)^2+cos(t)^2]=root[1+3*sin(t)^2]

 v'=3*sin(t)*cos(t)/root[1+3*sin(t)^2]

 <Ac>=<r>''=-<2*cos(t) sin(t)>

 Ac=root[4*cos(t)^2+sin(t)^2]=root[1+3*cos(t)^2]

 Ac^2-v'^2
=[1+3*cos(t)^2]-9*sin(t)^2*cos(t)^2/[1+3*sin(t)^2]
={[1+3*cos(t)^2]*[1+3*sin(t)^2]-9*sin(t)^2*cos(t)^2}/[1+3*sin(t)^2]

 分子=1+3*cos(t)^2+3*sin(t)^2=1+3=4

 Ac^2-v'^2=4/[1+3*sin(t)^2]

 Rc=[1+3*sin(t)^2]/{2/root[1+3*sin(t)^2]}=[1+3*sin(t)^2]^(3/2)/2

{長い間の謎が解けた!わかりやすい資料は見つからなかった!2015/7}

◇主法線ベクトルを求める◇

■ 運動 位置 <r(t)> 速度 <v>=<r>' |<v>|=v <vu>=<v>/v

主法線ベクトル <n> [<v>に垂直 <v>,<r>''が定める平面上にある]

 <r>''=<vu>*v'+<n>=<v>*v'/v+<n>

 <n>=<r>''-<v>*v'/v <n>=<nu>*|<n>| 

★ <r>=<t t^3-1 2*t> <v>=<1 3*t^2 2> <r>''=<0 6*t 0>

 v=root(5+9*t^4) v'=18*t^3/root(5+9*t^2)=18*t^3/v

 <n>=<r>''-<v>*v'/v=<0 6*t 0>-<1 3*t^2 2>*18*t^3/v^2

 y成分=6*t-3*t^2*18*t^3/v^2=(2*v^2-18*t^4)*3*t/v^2=30*t/v^2

 <n>=<-3*t^2 5 -6*t^2>*6*t/v^2

 |<n>|=root5*root(5+9*t^4)*6*t/v^2=6*root5*t/v

 <r>''=<vu>*18*t^3/v+<nu>*6*root5*t/v

★ 半径1の螺旋運動 <r>=<cos(t) sin(t) t+1>

 <v>=<-sin(t) cos(t) 1> <r>''=<-cos(t) -sin(t) 0> v=root2 v'=0

 <n>=<r>''-<v>*v'/v=<-cos(t) -sin(t) 0>-0=<-cos(t) -sin(t) 0>

 |<n>|=1 <r>''=<nu>

☆楕円の曲率半径☆

◆ 楕円運動 x=A*cos(w*t) y=B*sin(w*t) 曲率半径 Rc(t)

■ <r(t)>=<x y>=<A*cos(w*t) B*sin(w*t)>

 <r(t)>'=w*<-A*sin(w*t) B*cos(w*t)>

 <r(t)>''=-w^2*<A*cos(w*t) B*sin(w*t)>

 |<r(t)>'|=w*root[A^2*sin(w*t)^2+B^2*cos(w*t)^2]

 |<r(t)>''|=w^2*root[A^2*cos(w*t)^2+B^2*sin(w*t)^2]

 Rc(t)=|<r(t)>'|^2/|<r(t)>''|
=[A^2*sin(w*t)^2+B^2*cos(w*t)^2]/root[A^2*cos(w*t)^2+B^2*sin(w*t)^2]

t=0 のとき Rc(0)=B^2/A _

t=Pi/(2*w) のとき Rc(Pi/(2*w))=A^2/B _

曲率半径

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