◎ parabola

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◆ 放物線 y=a*x^2 上の任意の点 P に対して、

Pから 点(0,F) までの距離と、Pから 直線 y=-F までの距離が等しくなる、F がある。F の値を求めよう。

■ P(x,y)　y=a*^2　x^2+(y-F)^2=(y+F)^2

　x^2=4*F*y　F=x^2/(4*y)=x^2/(4*a*x^2)=1/(4*a)〔★ 〕焦点

放物線 y=a*x^2　点 (0,1/(4*a))　直線 y=-1/(4*a)

◎ 放物線の形の鏡を作る。放物線の対称軸に平行な光線を鏡に当てると、反射し、1点に集まる。〔★ 〕

◆ 放物線 y=a*x^2 上の任意の点 P(X,Y)　ただし、0<x とする

点Pを通り、放物線に接する直線とy軸との交点 Q　焦点 F(0,1/(4*a))

■ PF=QF が成り立てば、図形の性質より、光が1点に集まることがわかる。

直線PQ　y-Y=2*a*X*(x-X)

x=0 として、Qのy座標を求めて　y=Y-2*a*X^2=a*X^2-2*a*X^2=-a*X^2

　PF^2
=X^2+[a*X^2-1/(4*a)]^2
=X^2+a^2*X^4-X^2/2+1/(16*a^2)
=a^2*X^4+X^2/2+1/(16*a^2)
=[a*X^2+1/(4*a)]^2　PF=a*X^2+1/(4*a)

　QF=1/(4*a)+a*X^2=a*X^2+1/(4*a)

　PF=QF　∠FPQ=∠FQP　』

◎ グラフを拡大する

■ 半径1の円 x^2+y^2=1　円を2倍に拡大する。拡大された円の座標を、X,Y とすれば、

　X=2*x　Y=2*y　(X/2)^2+(Y/2)=1　X^2+Y^2=4

半径2の円ができた

◎ 放物線のグラフは、すべて相似{!}〔★ 〕

◆ 放物線 y=a*x^2 を、a倍に拡大すると、y=x^2 に重ね合わすことができる。

■ 拡大された放物線の座標 X,Y とすると、

　X=a*x　Y=a*y　Y/a=a*(X/a)^2　Y=X^2　』

■ 放物線 y=a*x^2 上の任意の点(X , a*X^2)での接線

　y-a*X^2=2*a*X*(x-X)　y=2*a*X*x-a*X^2

　y切片は y=-a*X^2

　接点のy座標=接線のy切片と原点との距離 ★  {おもしろいなあ!2013/10}

◎ 放物線上の点と、原点との距離について考えよう。

■ 放物線 y=x^2-1　放物線上の点 (x,y)

原点から、放物線上の任意の点までの距離 r

　r^2=x^2+y^2=(y+1)+y^2=(y+1/2)^2+3/4

x=(+-)*root2/2 , y=-1/2 のとき　最短距離 r_min=root3/2

その点の放物線の傾き (+-)*root2
その点と原点を結ぶ直線の傾き (+-)*root2/2

▲ 2本の直線は、垂直に交わる{おもしろい!2013/10}

■ 放物線 y=x^2-c　a>0　c>0　放物線上の点 (x,y)

原点から、放物線上の任意の点までの距離 r

　r^2=x^2+y^2=(y+c)+y^2=(y+1/2)^2+c-1/4

x=c-1/2 , y=-1/2 のとき　最短距離 r_min=root(c-1/4)

ただし、c<1/4 のとき　最短距離 r_min=c＝放物線の頂点と原点との距離

■ 放物線 y=a*x^2-c　a>0　c>0

原点から、放物線上の任意の点までの距離 r

　r^2=x^2+y^2=(y+c)/a+y^2=[y+1/(2*a)]^2+(4*a*c-1)/(4*a^2)

x=root(a*c-1/2)/a , y=-1/(2*a) のとき r_min=root(4*a*c-1)/(2*a) ★  

ただし　c<1/(2*a) のとき r_min=c

その点の放物線の傾き (+-)*2*root(a*c-1/2)
その点と原点を結ぶ直線の傾き (+-)*1/[2*root(a*c-1/2)]

▲ 2本の直線は、垂直に交わる{おもしろい!2013/10}

■ パラボラアンテナ　放物線 y=a*x^2 を、y軸を軸として1回転させてできた、ボールペンの先のような丸い形。これに、上から平行光線を当てる。

�@光は、すべて1点(焦点)に集まる。

�A焦点までに進む距離は、どの平行光線でも等しい。
平面波は同時に、焦点に集まる

{証明}　放物線上の任意の点 P(a,a*X^2)　焦点 F(0,1/(4*a))

点 P を通り、y軸に平行な直線 L
直線 L と、直線 y=-1/(4*a) との交点 Q
直線 L に、PQ=PR となるような点 R をとる。Rのy座標 > Pのy座標

　|PQ|^2=|PR|^2=[a*X^2+1/(4*a)]^2=a^2*X^4+X^2/2+1/(16*a^2)

　|PF|^2=X^2+[a*X^2-1/(4*a)]^2
=X^2+a^2*X^4-X^2/2+1/(16*a^2)=a^2*X^4+X^2/2+1/(16*a^2)

したがって、PQ=PR=PF　△PRF は二等辺三角形　∠PRF=∠PFR

PQ=PR より　R(X , 2*a*X^2+1/(4*a)) になるから、

　直線 RF の傾き=2*a*X^2/X=2*a*X

ところが、点 P における、放物線の傾きは 2*a*X であるから、
点 P での放物線の接線と、直線 RF は、平行になる。

平行であること、△PRF は二等辺三角形であって、∠PRF=∠PFR であることを使えば　(直線RPが接線と作る角度)=(直線PFが接線と作る角度)　となって、
光線RPは、放物線の接線で反射し、点 F に達する。�@の証明』

跳ね返ったあとの距離 PF は、PF=PQ だから、
　RP+PF=RP+PQ=RQ
y軸に平行に入射した光はすべて、点 F に達する距離は等しい。�Aの証明』
{1点に集まることは知っていたが、その距離が等しくなるのは、知らなかった。おもしろいなあ!}

◇ radius of curvature

◆ 放物線 y=x^2　x=0 での曲率半径 Rc

x=0 での放物線の接線に垂直で、その接点を通る直線 L=y軸

微少量 h に対して　x=h での同様な直線 Lh

■ x=h での接線の傾き 2*h だから、

　Lh　y-h^2=-(x-h)/(2*h)　⇒　y=-x/(2*h)+h^2+1/2　⇒　y=-x/(2*h)+1/2

2直線 L , Lh の交点

x=0　y=1/2

接点(0,0)　交点(0,1/2)　Rc=(その2点の距離)=1/2 ★

◆ 放物線 y=x^2　x=1 での曲率半径 Rc

x=1 での放物線の接線に垂直で、その接点を通る直線 L

微少量 h に対して　x=1+h での同様な直線 Lh

■ x=1 での接線の傾き 2 だから、

L　y-1=-(x-1)/2　⇒　y=-x/2+3/2

Lh　y-(1+h)^2=-(x-1-h)/[2*(1+h)]　⇒　y=-x*(1-h)/2+3/2+2*h

2直線 L , Lh の交点

　-x/2+3/2=-x*(1-h)/2+3/2+2*h

　x=-4　そのとき　y=7/2

まとめると　接点(1,1)　交点(-4,7/2)

　Rc=(接点と交点との距離)=root[5^2+(5/2)^2]=5*root5/2 ★

◆ 放物線 y=a*x^2

■ 放物線 y=x^2 を 1/a 倍すると、放物線 y=a*x^2 に合同になるから、

x=0 で Rc=1/(2*a)　x=1/a で Rc=5*root5/(2*a) ★

◆ 放物線 y=a*x^2　x=X での曲率半径 Rc

x=X での放物線の接線に垂直で、その接点を通る直線 L

x=X+h での同様な直線 Lh

■ x=X での放物線の接線の傾き 2*a*X　だから、

　L　y-a*X^2=-(x-X)/(2*a*X)　⇒　y=-x/(2*a*X)+a*X^2+1/(2*a)

同様に　Lh　y=-x/[2*a*(X+h)]+a*(X+h)^2+1/(2*a)

2直線 L , Lh の交点

　-x/(2*a*X)+a*X^2+1/(2*a)=-x/[2*a*(X+h)]+a*(X+h)^2+1/(2*a)

　x/[2*a*(X+h)]-x/(2*a*X)=a*(X+h)^2-a*X^2

　左辺=[x/(2*a)]*[1/(X+h)]-1/X]=-h*x/[2*a*X*(X+h)]

　右辺=a*h*(2*X+h)

　-h*x/[2*a*X*(X+h)]=a*h*(2*X+h)

　x=-2*a^2*X*(X+h)*(2*X+h)

h->0 で　x=-4*a^2*X^3　そのとき、

　y=2*a*X^2+a*X^2+1/(2*a)=3*a*X^2+1/(2*a)

まとめると　接点(X , a*X^2)　交点(-4*a^2*X^3 , 3*a*X^2+1/(2*a)) ★

　★　放物線　★