☆ ネイピア数 ☆ |
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〇 ネイピア数 e~2.718281828459 1^∞ 2023.06-2012.10 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 極限.指数関数 〓 〇 [exp(h)-1]/h
予想 lim[h->0]{[exp(h)-1]/h}=1 ★ ※ ネイピア数の定義 e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)} 〇 [2^h-1]/h
予想 lim[h->0]{[2^h-1]/h}~0.693=ln(2) ★ {全然わかってなかった!23.6} |
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〓 ネイピア数の近似値 〓 ▢ ネイピア数の定義 e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)} の近似値を求める ♡ 結局 1^∞ だから 1 ? ▷ h=0.5 のとき (1+0.5)^(1/0.5)=1.5^2=2.25 h=-0.5 のとき (1-0.5)^(-1/0.5)=1/0.5^2=1/0.25=4 ≫ 2.25<e<4 ★ ♡ この計算だけでも、ネイピア数を理解するうえで、有用だと思う。 ▷ (1+0.1)^(1/0.1) あとは計算機アプリの助けを借りて、 1.01^100~2.70481 1.001^1000~2.71692 1.0001^10000~2.71815 1.00001^100000~2.71827 ★ ▷ h<0 のときも考えて、 (1-0.5)^(-1/0.5)=1/0.5^2=1/0.25=4 ★ (1-0.1)^(-1/0.1)=1/(0.9^10)~2.86797 (1-0.01)^(-1/0.01)=1/(0.99^100)~2.73199 (1-0.001)^(-1/0.001)=1/(0.999^1000)~2.71964 (1-0.0001)^(-1/0.0001)=1/(0.9999^10000)~2.71842 (1-0.00001)^(-1/0.00001)=1/(0.99999^100000)~2.71830 ★ ≫ 2.71827<e<2.71830 ★ ♡ e~2.71828 だから、だいぶ追い詰めた{!} |
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〓 (e^h-1)/h h->0 近似値 〓 ▢ e~2.718281828459 として (e^h-1)/h h->0 の近似値を求める (1-1)/0=0/0 ? ▷ e^(1/2)~1.64872 e^(1/4)~1.28403 e^(1/8)~1.13315 e^(1/16)~1.06449 e^(1/32)~1.03174 e^(1/64)~1.01575 e^(1/128)~1.00784 ▷ e^(1/2)/(1/2)=2*(1.64872-1)=2*0.64872=1.29744 e^(1/4)/(1/4)=4*(1.28403-1)=4*0.28403=1.13612 e^(1/8)/(1/8)=8*(1.13315-1)=8*0.13315=1.0652 e^(1/16)/(1/16)=16*(1.06449-1)=16*0.06449=1.03184 e^(1/32)/(1/32)=32*(1.03174-1)=32*0.03174=1.01568 e^(1/64)/(1/64)=64*(1.01575-1)=64*0.01575=1.008 e^(1/128)/(1/128)=128*(1.00784-1)=128*0.00784=1.00392 次のように予測できる lim[h->0]{(e^h-1)/h}=1 ★ ♡ 以上のような計算を高校時代によっておけば、より理解が深まったと思う。 |
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〓 (e^h-1)/h h->0 〓 ▢ lim[h->0]{(e^h-1)/h} ? ▷ ネイピア数の定義 e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)} lim[h->0]{e^h-1}=lim[h->0]{(1+h)-1}=lim[h->0]{h} lim[h->0]{(e^h-1)/h}=lim[h->0]{h/h}=lim[h->0]{1}=1 ≫ lim[h->0]{(e^h-1)/h}=1 ★ |
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〓 指数関数の微分 〓 〇 ネイピア数 e を底とする指数関数 e^x 微分 e^x;x=lim[h->0]{[e(x+h)-e^x]/h h->0} [e(x+h)-e^x]/h=e^x*(e^h-1)/h h->0 のとき (e^h-1)/h->1 と予測できているから、 e^x;x=lim[h->0]{[e(x+h)-e^x]/h}=lim[h->0]{e^x*(e^h-1)/h}=e^x ≫ e^x;x=e^x ★ |
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〓 2^x の微分 〓 〇 ネイピア数 e を底とする対数関数 ln(x) 〔 x>0 〕 y=ln(x) ⇔ e^y=x すなわち x=e^ln(x) ★ ▲ e^x=exp(x) と表せば x=exp[ln(x)] 〇 正の定数 a a=e^ln(a) ★ a^x=[e^ln(a)]^x=e^[ln(a)*x] 微分 a^x;x=e^[ln(a)*x];x=ln(a)*e^[ln(a)*x]=ln(a)*a^x ≫ a^x;x=ln(a)*a^x ★ ♡ この公式を覚えてなかった{!} ★ 2^x;x=ln(2)*2^x~0.69315*2^x ★ 3^x;x=ln(3)*3^x~1.09861*3^x ★ 10^x;x=ln(10)*10^x~2.30259*10^x |
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☆ uzお勉強しよう since2011 Yuji.W |