お勉強しようUz 数学.関数

2016/9-2012/10 Yuji.W

ネイピア数

◎ ネイピア数 e~2.718281828

◇ネイピア数の定義と極限◇

■ 次の極限値を概算してみる

 lim[h->∞]{(1+1/h)^h}

 h=1 (1+1/1)^1=2

 h=2 (1+1/2)^2=1.5^2~2.25

 h=3 (1+1/3)^3=1.33…^3~2.37

 h=4 (1+1/4)^4=1.25^4~2.44

 h=5 (1+1/5)^5=1.2^5~2.49

 h=10 (1+1/10)^10=1.331^3*1.1~2.59

あとは、Excel の力を借りて、

 (1+1/100)^100=2.704814

 (1+1/10000)^10000=2.718146

 (1+1/10000000)^10000000=2.718282

 ネイピア数 e=lim[h->∞]{(1+1/h)^h}~2.718281828 .

または e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)}

{無限大乗すると言っても、元の数が1に近い数なのだから、そんなに大きくなりそうにないけど、2.7以上になるんだ、不思議!2013/4}

◇ネイピア数の定義と極限◇

■【 ネイピア数の定義 】

 ネイピア数 e=lim[h->∞]{(1+1/h)^h}~2.718281828 .

または e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)}

■【 ln(1+h)/h 】

e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)} の対数をとると 左辺=ln(e)=1

 右辺=ln{lim[h->0]{(1+h)^(1/h)}}
=lim[h->0]{ln[(1+h)^(1/h)]}
=lim[h->0]{ln(1+h)/h}

≫ lim[h->0]{ln(1+h)/h}=1 .

■【 (e^h-1)/h 】

上記の結果を x で置き換えれば lim[x->0]{ln(1+x)/x}=1

ln(1+x)=h とおくと x=exp(h)-1

 x->0 ⇒ h->0 だから lim[h->0]{(e^h-1)/h}=1 .

■【 (a^h-1)/h 】

a^h=e^[h*ln(a)] を利用して、

h->0 で (a^h-1)/h
={e^[h*ln(a)]-1}/h
=ln(a)*{e^[h*ln(a)]-1}/[h*ln(a)]

h->0 で h*ln(a)->0 だから (a^h-1)/h ⇒ ln(a)*1=ln(a) .

■【 (1+x/h)^h 】

lim[h->∞]{(1+x/h)^h}
=lim[h->∞]{(1+x/h)^[(h/x)*x]}
=lim[x/h->∞]{[(1+x/h)^(h/x)]^x}
=exp(x)
.

☆lim[h->0]{x*ln(x)}☆

◎ lim[h->0]{x*ln(x)} を求めよう。

x

0.5

0.1

0.01

x->0

x*ln(x)

-0.346

-0.230

-0.046

0

グラフより lim[h->0]{x*ln(x)}=0 と予想できる。

● ロピタルの定理 lim[x->c]{f(x)}=lim[x->c]{g(x)}=0

または lim[x->c]{f(x)}=lim[x->c]{g(x)}=∞ のとき、

 lim[x->c]{f(x)/g(x)}=lim[x->c]{f;x/g;x}

■ lim[h->0]{1/x}=lim[h->0]{-ln(x)}=∞ だから、ロピタルの定理が使えて、

 ln(x);x=1/x (1/x);x=-1/x^2

 lim[h->0]{x*ln(x)}=lim[h->0]{(1/x)/(-1*x^2)}=lim[h->0]{-x)}=0

◇極限の利用◇

■ lim[h->∞]{[1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)]}
=lim[n->∞]({[1+1/(2h)]^(2h)}^(1/2))
=e^(1/2)=root(e)

◇まとめ◇

『ネイピア数』 2016/9

■ h->∞ で、

 (1+1/h)^h -> e~2.718281828=ネイピア数{定義}

 (1+x/h)^h -> e^x [1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)] -> √e

■ h->0 で、

 (1+h)^(1/h) -> e

 ln(1+h)/h -> 1 (e^h-1)/h -> 1 (a^h-1)/h -> ln(a) x*ln(x) -> 0

 

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