数学 関数 2017/12-2012/10 Yuji.W

☆ ネイピア数

ネイピア数 e~2.718281828 _

【表記のお約束】f(x)をxで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x)

ネイピア数 e e^x=exp(x) 虚数単位 i i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #

〓 ネイピア数の定義とその近似値 〓 

ネイピア数の定義 e=lim[x->0]{(1+x)^(1/x)}

 または e=lim[x->∞]{(1+1/x)^x}

ネイピア数 e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)} の近似値を求める。

x=0.5 のとき (1+0.5)^(1/0.5)=1.5^2=2.25

x=0.1 のとき

 (1+0.1)^(1/0.1)
=1.1^10
=1.1^(3*3+1)
=(1.1^3)^3*1.1
=1.331^3*1.1
~2.3579476*1.1
~2.5937423

あとは iphone の助けを借りて、

x=0.01 のとき 1.01^100~2.70481

x=0.001 のとき 1.001^1000~2.71692

x=0.0001 のとき 1.0001^10000~2.71815

x=0.00001 のとき 1.00001^100000~2.71827

■ x<0 のときも考えて、

x=-0.5 のとき (1-0.5)^(-1/0.5)=1/0.5^2=1/0.25=4

x=-0.1 のとき 1/(0.9^10)~2.86797

x=-0.01 のとき 1/(0.99^100)~2.73199

x=-0.001 のとき 1/(0.999^1000)~2.71964

x=-0.0001 のとき 1/(0.9999^10000)~2.71842

x=-0.00001 のとき 1/(0.99999^100000)~2.71830

ネイピア数 e 2.71827<e<2.71830 _

{そうだったんだね!このぐらいは教えてほしかったね!2017/12}

{無限大乗すると言っても、元の数が1に近い数なのだから、そんなに大きくなりそうにないけど、2.7 ぐらいになるんだ、不思議!2013/4}

〓 いろいろな極限 〓 

◆ 次の関数において x->0 を考える。概数を求める。※ ネイピア数 e は定義されているとして{!}

 g(x)=ln(1+x)/x h(x)=(e^x-1)/x

※  g(x->0)=0/0 ? h(x->0)=0/0 ?

■ g(0.1)=ln(1.1)*10~0.95

 g(0.01)=ln(1.01)*100~0.995

 g(0.001)=ln(1.001)*1000~0.9995

x->0 のとき ln(1+x)/x -> 1 _

■ h(0.1)=(e^0.1-1)*10~1.05

 h(0.01)=(e^0.01-1)*100~1.005

 h(0.001)=(e^0.001-1)*1000~1.0005

x->0 のとき (e^x-1)/x -> 1 _

〓 ネイピア数の定義より 〓 

◇ log(e,x)=ln(x)

● ネイピア数の定義 e=lim[x->0]{(1+x)^(1/x)} 

■ {(1+x)^(1/x)} に対して、底 e の対数をとると、

 ln[(1+x)^(1/x)]=ln(1+x)/x

ネイピア数の定義 e=lim[x->0]{(1+x)^(1/x)} に対して、底 e の対数をとると、

 右辺=lim[x->0]{ln(1+x)/x}

 左辺=ln(e)=1 だから、

 lim[x->0]{ln(1+x)/x}=1 _

lim[x->0]{ln(1+x)/x}=1 より lim[y->0]{ln(1+y)/y}=1

逆数を考えて lim[y->0]{y/ln(1+y)}=1

y=e^x-1 と置くと ln(1+y)=ln(e^x)=x また [y->0] ⇔ [x->0] だから、

 lim[x->0]{(e^x-1)/x}=1 _

〓 指数関数の微分 〓 

◇ x の関数 f(x) を、x で微分 f(x);x

■ 微分の定義より、

 (e^x);x=lim[h->0]{[e^(x+h)-e^x]/h}=e^x*(lim[h->0]{(e^h-1)/h})

ここで lim[h->0]{(e^h-1)/h}=1 であったから、

 (e^x);x=e^x*1=e^x _

■ e^x=exp(x) と表せば exp(x);x=exp(x) _

■ 任意の正の定数 a に対して a=e^ln(a) であるから、

 a^x=[e^ln(a)]^x=e^[ln(a)*x]

 (a^x);x={e^[ln(a)*x]};x=ln(a)*e^[ln(a)*x]=ln(a)*a^x

》 (a^x);x=ln(a)*a^x _

★ (3^x);x=ln(3)*3^x

〓 ネイピア数 〓 

ネイピア数 e=lim[x->0]{(1+x)^(1/x)} または e=lim[x->∞]{(1+1/x)^x}

 2.71827<e<2.71830

■ lim[x->0]{ln(1+x)/x}=1 lim[x->0]{(e^x-1)/x}=1

xによる微分 (e^x);x=e^x (a^x);x=ln(a)*a^x

〓 極限の利用 〓 

■ lim[h->∞]{[1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)]}
=lim[n->∞]({[1+1/(2h)]^(2h)}^(1/2))
=e^(1/2)=root(e)

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