☆ ネイピア数 ☆

お勉強しよう 数学

〇 ネイピア数 e~2.718281828459 1^∞ 2023.06-2012.10 Yuji.W  

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 

〓 極限.指数関数 〓 

[exp(h)-1]/h 

 h

1

0.1

0.01

exp(h)-1

1.718

0.105

0.010

[exp(h)-1]/h

1.718

1.052

1.005

 予想 lim[h->0]{[exp(h)-1]/h}=1  

※ ネイピア数の定義 e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)}

[2^h-1]/h 

 h

1

0.1

0.01

0.001

2^h-1

1

0.0718

0.00696

0.0007

[2^h-1]/h

1

0.718

0.696

0.693

 予想 lim[h->0]{[2^h-1]/h}~0.693=ln(2)  

{全然わかってなかった!23.6} 

〓 ネイピア数の近似値 〓 

▢ ネイピア数の定義 e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)} の近似値を求める

♡ 結局 1^∞ だから 1 ?

▷ h=0.5 のとき (1+0.5)^(1/0.5)=1.5^2=2.25 

h=-0.5 のとき  (1-0.5)^(-1/0.5)=1/0.5^2=1/0.25=4 

≫ 2.25<e<4  

♡ この計算だけでも、ネイピア数を理解するうえで、有用だと思う。

▷ (1+0.1)^(1/0.1)
=1.1^10
=1.1^(3*3+1)
=(1.1^3)^3*1.1
=1.331^3*1.1
~2.3579476*1.1
~2.5937423  

 あとは計算機アプリの助けを借りて、

 1.01^100~2.70481

 1.001^1000~2.71692

 1.0001^10000~2.71815

 1.00001^100000~2.71827  

▷ h<0 のときも考えて、

 (1-0.5)^(-1/0.5)=1/0.5^2=1/0.25=4  

 (1-0.1)^(-1/0.1)=1/(0.9^10)~2.86797

 (1-0.01)^(-1/0.01)=1/(0.99^100)~2.73199

 (1-0.001)^(-1/0.001)=1/(0.999^1000)~2.71964

 (1-0.0001)^(-1/0.0001)=1/(0.9999^10000)~2.71842

 (1-0.00001)^(-1/0.00001)=1/(0.99999^100000)~2.71830  

≫ 2.71827<e<2.71830  

♡ e~2.71828 だから、だいぶ追い詰めた{!}

〓 (e^h-1)/h h->0 近似値 〓 

▢ e~2.718281828459 として (e^h-1)/h  h->0 の近似値を求める

 (1-1)/0=0/0 ?

▷ e^(1/2)~1.64872 e^(1/4)~1.28403 e^(1/8)~1.13315 e^(1/16)~1.06449

 e^(1/32)~1.03174 e^(1/64)~1.01575 e^(1/128)~1.00784

▷ e^(1/2)/(1/2)=2*(1.64872-1)=2*0.64872=1.29744

 e^(1/4)/(1/4)=4*(1.28403-1)=4*0.28403=1.13612

 e^(1/8)/(1/8)=8*(1.13315-1)=8*0.13315=1.0652

 e^(1/16)/(1/16)=16*(1.06449-1)=16*0.06449=1.03184

 e^(1/32)/(1/32)=32*(1.03174-1)=32*0.03174=1.01568

 e^(1/64)/(1/64)=64*(1.01575-1)=64*0.01575=1.008

 e^(1/128)/(1/128)=128*(1.00784-1)=128*0.00784=1.00392

次のように予測できる lim[h->0]{(e^h-1)/h}=1  

♡ 以上のような計算を高校時代によっておけば、より理解が深まったと思う。

〓 (e^h-1)/h h->0 〓 

▢ lim[h->0]{(e^h-1)/h} ?

▷ ネイピア数の定義 e=lim[h->0]{(1+h)^(1/h)}

 lim[h->0]{e^h-1}=lim[h->0]{(1+h)-1}=lim[h->0]{h}

 lim[h->0]{(e^h-1)/h}=lim[h->0]{h/h}=lim[h->0]{1}=1

≫ lim[h->0]{(e^h-1)/h}=1  

〓 指数関数の微分 〓 

〇 ネイピア数 e を底とする指数関数 e^x 

微分 e^x;x=lim[h->0]{[e(x+h)-e^x]/h  h->0}

 [e(x+h)-e^x]/h=e^x*(e^h-1)/h

h->0 のとき (e^h-1)/h->1 と予測できているから、

 e^x;x=lim[h->0]{[e(x+h)-e^x]/h}=lim[h->0]{e^x*(e^h-1)/h}=e^x

≫ e^x;x=e^x  

〓 2^x の微分 〓 

〇 ネイピア数 e を底とする対数関数 ln(x) 〔 x>0 〕

 y=ln(x) ⇔ e^y=x すなわち x=e^ln(x)  

▲ e^x=exp(x) と表せば x=exp[ln(x)]

〇 正の定数 a a=e^ln(a)  

 a^x=[e^ln(a)]^x=e^[ln(a)*x]

微分 a^x;x=e^[ln(a)*x];x=ln(a)*e^[ln(a)*x]=ln(a)*a^x

≫ a^x;x=ln(a)*a^x  

♡ この公式を覚えてなかった{!}

★ 2^x;x=ln(2)*2^x~0.69315*2^x

★ 3^x;x=ln(3)*3^x~1.09861*3^x

★ 10^x;x=ln(10)*10^x~2.30259*10^x

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