お勉強しようUz 数学.確率

2016/2-2012/10 Yuji.W

階乗,スターリングの公式

logarithm factorial

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇階乗の対数◇

★ 10!=3628800 ln(10!)~15.10

 LOG(10!)=ln(10!)/ln(10)~6.6 10! は 7桁の数

★ 20!=243 2902 0081 7664 0000 ln(20!)~42.34

 LOG(20!)=ln(20!)/ln(10)~18.4 20! は 19桁の数

☆スターリングの公式☆

◎ n! は大きい! 対数をとって考えよう

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

■ Ten(x)=exp[x*ln(10)] LOG(x)=ln(x)/ln(10)

■ |x|<<1 のとき

 exp(x)=1+x Ten(x)=1+x*ln(10) ln(1+x)=x LOG(1+x)=x/ln(10)

n

ln(n!)

n*[ln(n)-1]

n*ln(n)

100

364

361

461

200

863

860

1060

1000

5912

5908

6908

 LOG(1000!)=ln(1000!)/ln(10)=5912/2.3026~2567.5

 1000!
=10^2567.5
=10^(2567+0.5)
=10^2567*10^0.5
~3*Ten(2567)

■ n>>1 のとき ln(n!)=n*[ln(n)-1] さらに ln(n!)=n*ln(n) .スターリングの公式

{証明} 最も簡単な方法{!2013/12}

n!=1*2*3*…*n を 1,2,3,…,n の中央の値 n/2 その値を n回掛けているものと見なして

 n!~(n/2)^n

 ln(n!)=n*[ln(n)-ln(2)]~n*[ln(n)-0.69]~n*ln(n) .

☆ln(n!)☆

ln(5!) ※ ln(5!)=ln(120)~4.79

 ln(5!)=ln(1)+ln(2)+…+ln(5)=ln(2)+…+ln(5)

オレンジ色の部分の面積と、ln(x) の面積を比べて、

 ln(2)+…+ln(5) < ${ln(x)*dx}[x:2~6]

黄緑線で囲まれた部分の面積と、ln(x) の面積を比べて、

 ${ln(x)*dx}[x:1~5] < ln(2)+…+ln(5)

両方で ${ln(x)*dx}[x:1~5] < ln(5!) < ${ln(x)*dx}[x:2~6]

ここで ${ln(x)*dx}=x*[ln(x)-1] だから、

 ${ln(x)*dx}[x:1~5]
=5*[ln(5)-1]-1*[ln(1)-1]
=5*0.61-1*(-1)
=3.05+1
=4.05

 ${ln(x)*dx}[x:2~6]
=6*[ln(6)-1]-2*[ln(2)-1]
=6*0.79-2*(-0.31)
=4.74+0.62
=5.36

 5*[ln(5)-1]+1 < ln(5!) < 6*[ln(6)-1]+0.62

 4.05 < ln(5!) < 5.36 .

ln(1000!) ※ ln(1000!)~5912

同様にして、

 1000*[ln(1000)-1]+1 < ln(1000!) < 1001*[ln(1001)-1]+0.62

 1000*(6.908-1)+1 < ln(1000!) < 1001*(6.909-1)+0.62

 5909 < ln(1000!) < 5916 .

ln(n!)

一般に、

 n*[ln(n)-1]+1 < ln(n!) < (n+1)*[ln(n+1)-1]+0.62 .〔n が大きくなくても成り立つ〕

n が大きいとき ln(n!)=n*[ln(n)-1] .スターリングの公式

ln[6*Ten(23)!]

 ln[6*Ten(23)!]
=ln(6)+ln[Ten(23)!]
=ln(6)+Ten(23)*{ln[Ten(23)]-1}

ここで ln[Ten(23)]=ln(10)*LOG[Ten(23)]=2.3026*23~52.96 だから、

 ln[6*Ten(23)!]=1.79+Ten(23)*51.96~5.2*Ten(24)

≫ ln[6*Ten(23)!]~5.2*Ten(24) .

◇利用-確率◇

■ コイン10枚を投げた時、5枚が表になる確率 P

 P=[10!/(5!*5!)]/2^10

 ln(P)=ln(10!)-2*ln(5!)-10*ln(2)
=15.10441257-2*4.787491743-10*0.6931471806=-1.402

 P=exp(-1.402)=0.25

■ コイン10枚を投げた時、4枚が表になる確率 P

 P=[10!/(4!*6!)]/2^10

 ln(P)=ln(10!)-ln(4!)-ln(6!)-10*ln(2)
=15.1044-3.1781-6.5793-10*0.69315=-1.5845

 P=exp(-1.5845)=0.21

▲4枚か、5枚か、6枚になる確率 0.25+0.21*2=0.67

3回中2回はそうなる。3回中1回は、そうはならない。

■ コイン100枚を投げた時、50枚が表になる確率 P

 P=[100!/(50!*50!)]/2^100

 ln(P)=ln(100!)-2*ln(50!)-100*ln(2)
=363.7393756-2*148.477767-100*69.31471806=-2.5308764

 P=exp(-2.5308764)=0.08 12.5回に1回

  階乗,スターリングの公式  

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