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◎ logarithm factorial |
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◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数- ★. |
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★ 10!=3628800 ln(10!)~15.10 LOG(10!)=ln(10!)/ln(10)~6.6 10! は 7桁の数 ★ 20!=243 2902 0081 7664 0000 ln(20!)~42.34 LOG(20!)=ln(20!)/ln(10)~18.4 20! は 19桁の数 |
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◎ n! は大きい! 対数をとって考えよう
LOG(1000!)=ln(1000!)/ln(10)=5912/2.3026~2567.5 1000! ■ n>>1 のとき ln(n!)=n*[ln(n)-1] さらに ln(n!)=n*ln(n) ★.スターリングの公式 {証明} 最も簡単な方法{!2013/12} n!=1*2*3*…*n を 1,2,3,…,n の中央の値 n/2 その値を n回掛けているものと見なして n!~(n/2)^n ln(n!)=n*[ln(n)-ln(2)]~n*[ln(n)-0.69]~n*ln(n) ★. |
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■ ln(5!) ※ ln(5!)=ln(120)~4.79 ln(5!)=ln(1)+ln(2)+…+ln(5)=ln(2)+…+ln(5) オレンジ色の部分の面積と、ln(x) の面積を比べて、 ln(2)+…+ln(5) < ${ln(x)*dx}[x:2~6] 黄緑線で囲まれた部分の面積と、ln(x) の面積を比べて、 ${ln(x)*dx}[x:1~5] < ln(2)+…+ln(5) 両方で ${ln(x)*dx}[x:1~5] < ln(5!) < ${ln(x)*dx}[x:2~6] ここで ${ln(x)*dx}=x*[ln(x)-1] だから、 ${ln(x)*dx}[x:1~5] ${ln(x)*dx}[x:2~6] 5*[ln(5)-1]+1 < ln(5!) < 6*[ln(6)-1]+0.62 4.05 < ln(5!) < 5.36 ★. ■ ln(1000!) ※ ln(1000!)~5912 同様にして、 1000*[ln(1000)-1]+1 < ln(1000!) < 1001*[ln(1001)-1]+0.62 1000*(6.908-1)+1 < ln(1000!) < 1001*(6.909-1)+0.62 5909 < ln(1000!) < 5916 ★. ■ ln(n!) 一般に、 n*[ln(n)-1]+1 < ln(n!) < (n+1)*[ln(n+1)-1]+0.62 ★.〔n が大きくなくても成り立つ〕 n が大きいとき ln(n!)=n*[ln(n)-1] ★.スターリングの公式 ■ ln[6*Ten(23)!] ln[6*Ten(23)!] ここで ln[Ten(23)]=ln(10)*LOG[Ten(23)]=2.3026*23~52.96 だから、 ln[6*Ten(23)!]=1.79+Ten(23)*51.96~5.2*Ten(24) ≫ ln[6*Ten(23)!]~5.2*Ten(24) ★. |
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■ コイン10枚を投げた時、5枚が表になる確率 P P=[10!/(5!*5!)]/2^10 ln(P)=ln(10!)-2*ln(5!)-10*ln(2) P=exp(-1.402)=0.25 ■ コイン10枚を投げた時、4枚が表になる確率 P P=[10!/(4!*6!)]/2^10 ln(P)=ln(10!)-ln(4!)-ln(6!)-10*ln(2) P=exp(-1.5845)=0.21 ▲4枚か、5枚か、6枚になる確率 0.25+0.21*2=0.67 3回中2回はそうなる。3回中1回は、そうはならない。 ■ コイン100枚を投げた時、50枚が表になる確率 P P=[100!/(50!*50!)]/2^100 ln(P)=ln(100!)-2*ln(50!)-100*ln(2) P=exp(-2.5308764)=0.08 12.5回に1回 |
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★ 階乗,スターリングの公式 ★ |