☆ 双曲線 ☆

《 uzお勉強しよう　数学　力学　特殊相対性理論　電磁気　量子力学　物理学一般 》

〇 x^2/A^2-y^2/B^2=1　デカルト座標　hyperbola　★　2023.5-2012.11　Yuji.W

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　

〓　{計算例}双曲線　〓　

▢ 双曲線　x^2-y^2=1　x軸対称、y軸対称　以下 x≧0 , y≧0 だけ考える

▷

〓　焦点　〓　

▢ x軸対称、y軸対称であって、x軸正の方向と負の方向に開く双曲線

　x^2/A^2-y^2/B^2=1　〔 正の定数 A , B 〕

F=root(A^2+B^2)　として　焦点 F1(F,0) , F2(-F,0)　

双曲線上の任意の点 P(x,y)　〔 x>0 , y≧0 〕　焦点 F1(F,0) , F2(-F,0)

PF2=root[(x+F)^2+y^2]　PF1=root[(x-F)^2+y^2]

▷ x軸対称、y軸対称であるから、以下 x≧0 , y≧0 で考える。

　PF2^2
=(x+F)^2+y^2
=(x^2+2*F*x+F^2)+(x^2*B^2/A^2-B^2)　
=x^2*(1+B^2/A^2)+2*F*x+(F^2-B^2)　
=x^2*F^2/A^2+2*F*x+A^2
=(x*F/A+A)^2

　PF2=root[(x+F)^2+y^2]=x*F/A+A　★　{核心!}

同様にして　PF1=x*F/A-A

　PF2-PF1=(x*F/A+A)-(x*F/A-A)=2*A　★　焦点までの距離の差は一定

※ これを、双曲線の定義とする

〓　漸近線　〓　

▢ x軸対称、y軸対称であって、x軸正の方向と負の方向に開く双曲線

　x^2/A^2-y^2/B^2=1　〔 正の定数 A , B 〕

▷ x>0 , y>0　のとき

　y^2/B^2=(x^2-A^2)/A^2　

　y=(B/A)*root(x^2-A^2)

x->∞　のとき　y=(B/A)*x　この直線を「漸近線」と言う

y<0 の場合も考えて　漸近線 y=±(B/A)*x　★　

※ この式の場合は、座標の原点が、漸近線の交点になっている

※ F=root(A^2+B^2)=(漸近線の交点から双曲線の焦点までの距離)

▷ 漸近線とx軸との角 a0　tan(a0)=B/A　★　

　cos(a0)=A/F　sin(a0)=B/F　★　

 離心率 e=F/A　として　cos(a0)=1/e　★　

 (衝突径数)=(漸近線と焦点との最短距離) Ip=F*sin(a0)=B　★　

▷ x=A　のとき　y=0　A=(漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離)　★　

〓　通径&離心率　〓　

▢ x軸対称、y軸対称であって、x軸正の方向と負の方向に開く双曲線

　x^2/A^2-y^2/B^2=1　〔 正の定数 A , B 〕

 焦点 F=root(A^2+B^2)　通径 x=F のときの yの値 l　離心率 e=F/A　

▷ 通径 x=F のときの yの値 l

y>0 で考える

　l=(B/A)*root(F^2-A^2)=(B/A)*B=B^2/A　

　l=B^2/A　★　

※ (通径)=(焦点での双曲線の幅の半分)

▷ 通径と離心率を使って、

　A=l/(e^2-1)　Ip=B=root(A*l)=l/root(e^2-1)　F=A*e=l*e/(e^2-1)　★　

〓　散乱角 a_bend　〓　

〇 衝突径数 Ip=B と a_bend=Pi-2*a0 の関係　

▢ 双曲線 x^2/A^2-y^2/B^2=1　〔 正の定数 A , B 〕

衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=B

 漸近線とx軸との角 a0　tan(a0)=B/A=Ip/A　

散乱角 a_bend=Pi-2*a0　a0=Pi/2-a_bend/2

▷ cos(a0)=cos(Pi/2-a_bend/2)=sin(a_bend/2)

また　sin(a0)=sin(Pi/2-a_bend/2)=cos(a_bend/2)

　tan(a_bend/2)=sin(a_bend/2)/cos(a_bend/2)=cos(a0)/sin(a0)=1/tan(a0)

　tan(a_bend/2)=1/tan(a0)　★　

ここで　tan(a0)=B/A=Ip/A　Ip=A*tan(a0)　

　Ip=A*tan(a0)=A/tan(a_bend/2)　★　

{なんだ、簡単だ!23.5}

〓　双曲線　〓　23.5　

〇 双曲線 2つの焦点までの距離の差が一定　

▢ x軸対称、y軸対称であって、x軸正の方向と負の方向に開く双曲線　

　x^2/A^2-y^2/B^2=1　〔 正の定数 A , B 〕焦点 F=root(A^2+B^2)　

▷ 漸近線 y=±(B/A)*x

▷ (漸近線の交点と、双曲線の頂点との距離)=A　

　衝突径数(漸近線と焦点との最短距離) Ip=B

　離心率 e=F/A　通径(焦点での双曲線の幅の半分) l=B^2/A　

▷ 漸近線とx軸との角 a0　tan(a0)=B/A=Ip/A　cos(a0)=A/F=1/e　sin(a0)=B/F=Ip/F　

▷ 散乱角 a_bend=Pi-2*a0　Ip=A*tan(a0)=A/tan(a_bend/2)　

▷ A=l/(e^2-1)　Ip=B=root(A*l)=l/root(e^2-1)　F=A*e=l*e/(e^2-1)　

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