数学-関数

2014/3-2012/12　Yuji.W

☆ 同次関数オイラーの定理 ☆

〔★〕同次関数　オイラーの定理　☆ homogenous

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca　sin(b)=Sb　tan(x)=Tx　10^x=Ten(x)
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　成分<>:x　内積*　外積#
e^(x)=exp(x)=E(x)　e^(i*x)=expi(x)=Ei(x)　微分;x　時間微分'　物理定数

■ k 次の同次関数　関数 f(x,y, … ) が、次の関係を満たす

任意の定数 α に対して　f(α*x,α*y, … )=α^k*f(x,y, … )【★】

★ f(x,y)=x^2+3*x*y　2次

　f(αx,αy, … )=(α*x)^2+3*(α*x)*(α*y)=α^2*(x^2+3*x*y)

★ f(x,y)=x^k+y^k　k次

　f(αx,αy, … )=(α*x)^k+(α*y)^k=α^k*(x^k+y^k)=α^k*f(x,y)

★ f(x,y)=(x+y)^k　k次

　f(αx,αy, … )=(α*x+α*y)^k=α^k*(x+y)^k=α^k*f(x,y)

■ k 次の同次関数　任意の定数 α に対して　f(α*x,α*y, … )=α^k*f(x,y, … ) のとき、その偏微分関数は、(k-1) の同次関数【★】

★ f(x,y)=x^2+3*x*y+4*y^2　2次同次関数

　f;x=2*x+3*y　f;y=3*x+8*y　明らかに、1次同次関数

〓 証明 〓　f(α*x,α*y, … );(α*x)=α^(k-1)*f(x,y, … );x を示せばよい。

　{左辺を (α*x) で、微分しているのがポイント！}

　f(α*x,α*y, … )=α^k*f(x,y, … )

　(左辺);x=f(αx,αy, … );x=[f(αx,αy, … );(α*x)]*[(α*x);x]
=α*[f(αx,αy, … );(α*x)]

　(右辺);x=α^k*f(x,y, … );x

したがって、α*[f(αx,αy, … );(α*x)]=α^k*f(x,y, … );x

　f(αx,αy, … );(α*x)=α^(k-1)*f(x,y, … );x

同様に、他の変数についても、

　f(αx,αy, … );(α*y)=α^(k-1)*f(x,y, … );y　…　』

★ f(x,y)=x^2+3*x*y+4*y^2　2次同次関数

　f;x=2*x+3*y　f;y=3*x+8*y　だから、

　(f;x)*x+(f;y)*y
=2*x^2+3*x*y+3*x*y+8*y^2
=2*(x^2+3*x*y+4*y^2)
=2*f(x,y)

〓 証明 〓　f(α*x,α*y, … )=α^k*f(x,y, … )

α の関数と見なし、両辺を α で微分してから、α=1 とする。

　左辺=[f(αx,αy, … );(α*x)]*(α*x);α+[f(αx,αy, … );(α*y)]*(α*y);α+…
=[f(αx,αy, … );(α*x)]*x+[f(αx,αy, … );(α*y)]*y+…

　右辺=k*α^(k-1)*f(x,y, … )

α=1 とおいて、

　[f(x,y, … );x]*x+[f(x,y, … );y]*y+…=k*f(x,y, … )　』

★　同次関数オイラーの定理　★