お勉強しよう 〕 数学.図形

2016/12-2012/11 Yuji.W

楕円

◎ 惑星の軌道 楕円 ellipse 太陽の食 eclipse

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# 〔物理定数〕 .
ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇楕円◇

■【 楕円を表す式 】

円[xy平面上にある 半径 1 中心:原点]の円周上の点の x と y の関係を表す式

 x^2+y^2=1

その円を、x軸方向に A倍、y軸方向に B倍したものを楕円と言う。その楕円上の点の座標を X と Y とすると、

 X=A*x & Y=B*y

X と Y の関係を表す式は、円の式より、

 (X/A)^2+(Y/B)^2=1

 X^2/A^2+Y^2/B^2=1

x と y で書き直して、

 x^2/A^2+y^2/B^2=1 .

 楕円[xy平面上にある 中心:原点 対称軸がx軸とy軸]を表す式

0<B<A の場合 長半径 A 短半径 B

■【 楕円の面積 】

半径1の円を、x軸方向に A倍、y軸方向に B倍したものだから、

 楕円[長半径 A 短半径 B]の面積=Pi*A*B .

◇楕円の焦点◇

■【 楕円の焦点 】

楕円 x^2/A^2+y^2/B^2=1〔0<B<A〕 F=root(A^2-B^2)

焦点 F1(F,0),F2(-F,0) 離心率 e=F/A=root(A^2-B^2)/A 0≦e<1

楕円上の任意の点 P(x,y)に対して PF1+PF2=一定 .

{証明} 点Pで x^2/A^2+y^2/B^2=1

 (PF1)^2
=(x-F)^2+y^2
=(x^2-2*F*x+F^2)+(B^2-x^2*B^2/A^2)
=x^2*(A^2-B^2)/A^2-2*F*x+(F^2+B^2)
=x^2*e^2-2*A*e*x+A^2
=(e*x-A)^2

e*x<A だから PF1=A-e*x

同様にして PF2=A+e*x

 PF1+PF2=(A-e*x)+(A+e*x)=2*A 点Pの座標の値に依らない値 ‖

◇楕円の通径◇

通径 l=B^2/A 離心率 e=F/A=root(A^2-B^2)/A より、

 A=l/(1-e^2) B=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

 F1から楕円上までの最短距離 r0
=A-F
=l/(1-e^2)-l*e/(1-e^2)
=l*(1-e)/(1-e^2)
=l/(1+e)

 1+e=l/r0

 e=l/r0-1

 F1から楕円上までの最遠距離 r1=A+F=l/(1-e)

◇円座標で◇

◎ 楕円を円座標(r,a)で表す

■ 変換 x=r*cos(a)+F y=r*sin(a)

楕円 x^2/A^2+y^2/B^2=1〔0<B<A〕に代入して、

 [r*cos(a)+F]^2/A^2+[r*sin(a)]^2/B^2=1

これで、円座標(r,a)での楕円の式はできた。後は、整理するだけ{!}

 B^2*[r*cos(a)+F]^2+A^2*r^2*sin(a)^2-A^2*B^2=0

 r^2の係数
=B^2*cos(a)^2+A^2*sin(a)^2
=B^2*cos(a)^2+A^2*[1-cos(a)^2]
=A^2*[1-cos(a)^2*(A^2-B^2)/A^2]
=A^2*[1-e^2*cos(a)^2]
=A^2*[1+e*cos(a)]*[1-e*cos(a)]

 rの係数=2*B^2*F*cos(a)=2*B^2*A*e*cos(a)

 定数項
=B^2*F^2-A^2*B^2
=B^2*(F^2-A^2)
=-B^4

まとめると、

 A^2*[1+e*cos(a)]*[1-e*cos(a)]*r^2+2*B^2*A*e*cos(a)*r-B^4=0

因数分解できて、

 {A*[1+e*cos(a)]*r-B^2}*{A*[1-e*cos(a)]*r+B^2}=0

 r=(B^2/A)/[1+e*cos(a)] or r=-(B^2/A)/[1-e*cos(a)]

r>0 だから r=(B^2/A)/[1+e*cos(a)]

B^2/A=l=通径 を使うと r=l/[1+e*cos(a)] .

{こういう風に習うとわかりやすかったと思う!2016/3}

◇楕円の面積◇

◆ x^2/A^2+y^2/B^2=1〔 A,B:正の数 〕 面積 S

■【 変数変換して 】

 x=A*r*cos(a) y=B*r*sin(a) [x:0~A][y:0~B]=[r:0~1][a:0~Pi/2]

※ not[tan(a)=y/x] tan(a)=(A/B)*(y/x)

 x;r=A*cos(a) x;a=-A*r*sin(a) y;r=B*sin(a) y;a=B*r*cos(a)

 J(r,a)=|A*B*r*cos(a)^2+A*B*r*sin(a)^2|=A*B*r

r を固定して ${1*J(r,a)*da}[a:0~Pi/2]
=Pi*A*B*r/2

 S/4
=(Pi*A*B/2)*${r*dr}[r:0~1]
=(Pi*A*B/2)*[r^2/2][r:0~1]
=Pi*A*B/4

 S=Pi*A*B .

{おみごと!2016/9}

{別解} S/4
=${y*dx}[x:0~A]
=B*${root[1-(x/A)^2]*dx}[x:0~A]

x/A=X と置いて、dx=A*dX [x:0~A]=[X:0~1]

 S/4
=B*${root[1-(x/A)^2]*dx}
=A*B*${root[1-X^2]*dX}  積分は、円の面積の(1/4)
=A*B*Pi/4

 S=Pi*A*B ‖

◇楕円の準円◇

◎ 楕円に対して、直交する2本の接線を引く。その2本の接線の交点は円を描く。その円を「準円」と言う。

◆ 楕円 x^2/A^2+y^2/B^2=1

次の条件を満たす2本の直線の交点 (X,Y)

@ 2本の直線は、楕円の接線になっている
A 2本の直線は直交する

2本の直線の傾き m1,m2

2本の直線 y-Y=m1*(x-X) & y-Y=m2*(x-X)

■ m1 と m2 は、次の m の方程式を満たす

 x^2/A^2+[m*(x-X)+Y]^2/B^2=1

 B^2*x^2+A^2*[m*(x-X)+Y]^2-A^2*B^2=0

ここで [m*(x-X)+Y]^2
=[m*x+(Y-m*X)]^2
=m^2*x^2+2*m*(Y-m*X)*x+(Y-m*X)^2

 (A^2*m^2+B^2)*x^2+2*A^2*m*(Y-m*X)*x
+A^2*(Y-m*X)^2-A^2*B^2=0

x の2次方程式とみれば、その解は、直線と楕円の交点の座標を表す。今、その直線は接線であるから、重根を持たなければならない。

 判別式=0

 判別式/4
=[A^2*m*(Y-m*X)]^2-(A^2*m^2+B^2)*[A^2*(Y-m*X)^2-A^2*B^2]

 後半
=(A^2*m^2+B^2)*[A^2*(Y-m*X)^2-A^2*B^2]
=A^4*m^2*(Y-m*X)^2-A^4*B^2*m^2+A^2*B^2*(Y-m*X)^2-A^2*B^4

 判別式/4
=A^4*m^2*(Y-m*X)^2
-A^4*m^2*(Y-m*X)^2+A^4*B^2*m^2-A^2*B^2*(Y-m*X)^2+A^2*B^4
=A^4*B^2*m^2-A^2*B^2*(Y-m*X)^2+A^2*B^4
=A^2*B^2*(A^2-X^2)*m^2+2*X*Y*m+A^2*B^2*(B^2-Y^2)

判別式=0 より、

 A^2*B^2*(A^2-X^2)*m^2+2*X*Y*m+A^2*B^2*(B^2-Y^2)=0

m1 と m2 は、この mの2次方程式の解である。2本の直線は直交するから、

 m1*m2=-1

根と係数の関係より、

 A^2*B^2*(B^2-Y^2)/[A^2*B^2*(A^2-X^2)]=-1

 B^2-Y^2=-A^2+X^2

 X^2+Y^2=A^2+B^2 .直交する2本の接線の交点(X,Y)が満たすべき方程式

直交する2本の接線の交点は、次のような円を描く

 半径 root(A^2+B^2) 中心:楕円の中心

{知らなかった!2016/8}{計算は面倒だが、ていねいにすれば、できる!2016/8}

▲ x軸とy軸に接するように楕円を回転すると、楕円の中心は、次のような弧を行ったり来たりする

 半径root(A^2+B^2) 中心:原点

{まとめ}楕円

『楕円』 2016/3

■ 楕円[xy平面上 中心:原点] X,Y,F:正の定数 x^2/X^2+y^2/Y^2=1

面積=Pi*X*Y

■【 横長楕円 】0<Y<X 長半径 X 短半径 Y F^2+Y^2=X^2 焦点 F1(F,0),F2(-F,0) x^2/X^2+y^2/(X^2-F^2)=1

離心率 e=F/X=root[1-(Y/X)^2] 通径 l=Y^2/X=(X^2-F^2)/X X=l/(1-e^2) Y=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

焦点F1を原点とし、円座標(r,a)で表すと x=r*cos(a)+F y=r*sin(a) r=l/[1+e*cos(a)]

■【 縦長楕円 】0<X<Y 長半径 Y 短半径 X F^2+X^2=Y^2 焦点 F1(0,F),F2(0,-F) x^2/(Y^2-F^2)+y^2/Y^2=1

離心率 e=F/Y=root[1-(X/Y)^2] 通径 l=X^2/Y=(Y^2-F^2)/Y Y=l/(1-e^2) X=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

■ F1から楕円上までの最短距離 r0=l/(1+e) e=l/r0-1 F1から楕円上までの最遠距離 r1=l/(1-e)

焦点 F1,F2 楕円上の任意の点 P(x,y) PF1+PF2=一定

  楕円  

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