☆ 楕円 ☆

《 お勉強しよう　数学 》

〇 楕円　長径　短径　離心率　通径　★　2022.8-2012.11　Yuji.W

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　

〓　楕円　〓　

◎ 焦点までの距離の和

〇 2次元デカルト座標 (x,y)　長径 A　短径 B　焦点 F=root(A^2-B^2)

楕円を表す式　x^2/A^2+y^2/B^2=1　★　

※ 楕円の中心の位置をずらしたり、楕円の向きを傾けたりすれば、別の式になる

▢ 楕円では、2定点(焦点)までの距離の和が一定である。　※ 普通、これを楕円の定義とする

楕円上の任意の点 P(x,y)　|x|≦A　焦点 F1 (F,0) , F2 (-F,0)　

▷ 楕円の式より　y^2=-x^2*B^2/A^2+B^2

B の代わりに F を使って　y^2=-x^2*(1-F^2/A^2)+(A^2-F^2)

　PF1^2
=(x-F)^2+y^2
=x^2-2*F*x+F^2+y^2
=x^2-2*F*x+F^2+[-x^2*(1-F^2/A^2)+(A^2-F^2)]
=A^2-2*F*x+x^2*F^2/A^2
=(A-x*F/A)^2

|x|≦A　F/A<1　A-x*F/A > 0　だから

　PF1=A-x*F/A　★　{核心!}

同様に　PF2=A+x*F/A　

⇒　PF1+PF2=2*A　★　焦点までの距離の和が一定

▷ PF1=r　x=F+r*cos(a)　と置くと、

　r=A-x*F/A=A-[F+r*cos(a)]*F/A=(A^2-F^2)/A-r*cos(a)*F/A=B^2/A-r*cos(a)*F/A

　r*[1+(F/A)*cos(a)]=B^2/A　

さらに　離心率 e=F/A　通径(x=F のときの y の値の正の方) l=B^2/A　を使うと、

　r*[1+e*cos(a)]=l　★　焦点 F1 を原点、x軸との角度を a とした場合の楕円

{計算し直してみると、新たな発見がある!2022.8}

〓　離心率、通径　〓　

〇 離心率 (焦点の位置のずれの割合) e=F/A=root(A^2-B^2)/A=root[1-(B/A)^2]　

　F=A*e　B=A*root(1-e^2)　0≦e<1

〇 通径 (x=F のときの y の値の正の方) l=B^2/A=A*(1-e^2)
 　A=l/(1-e^2)　F=l*e/(1-e^2)　B=l/root(1-e^2)　★　

〓　r の最小値、最大値　〓　
〇 焦点の1つを原点とする楕円　通径 l　離心率 e　0≦e<1　楕円 r*[1+e*cos(a)]=l

a=0 のとき　r は最小値　r_min=l/(1+e)　★　

a=Pi のとき　r は最大値　r_max=l/(1-e)　★　

{確かめ}　r_min+r_max=l/(1+e)+l/(1-e)=2*l/(1-e^2)=2*A

〓　e , r_min , r_max　〓　

〇 r_min/l=1/(1+e)　r_max/l=1/(1-e)

　(1-e)/(1+e)=r_min/r_max　

　e=(1-r_min/r_max)/(1+r_min/r_max)　★　

★ r_min/r_max=0.9 のとき e=0.1/1.9~0.05　

★ r_min/r_max=0.5 のとき e=0.5/1.5~0.33　

★ 地球の公転軌道　

　r_min=1.471*Ten(11)_m　r_max=1.521*Ten(11)_m

　r_min/r_max=1.471/1.521~0.9671　

　e=0.0329/1.9671~0.0167

　B/A=root(1-e^2)~0.9999

　A=10_cm　のとき　B=9.999_cm　ほとんど真円　

★ 月の公転軌道　

　r_min=3.63*Ten(8)_m　r_max=4.05*Ten(8)_m　

　r_min/r_max=3.63/4.05~0.896

　e=0.104/1.896~0.055　

　B/A=root(1-e^2)~0.9985

　A=10_cm　のとき　B=9.985_cm　ほとんど真円　

〓　楕円　〓　22.8

〇 2次元デカルト座標 (x,y)　長径 A　短径 B　焦点 F=root(A^2-B^2)

楕円を表す式　x^2/A^2+y^2/B^2=1　

※ 楕円の中心の位置をずらしたり、楕円の向きを傾けたりすれば、別の式になる

〇 楕円では、2定点(焦点)までの距離の和が一定である。　※ 普通、これを楕円の定義とする。楕円上の任意の点 P(x,y)　|x|≦A　焦点 F1 (F,0) , F2 (-F,0)　

　PF1=A-x*F/A　PF2=A+x*F/A　PF1+PF2=2*A　

〇 PF1=r　x=F+r*cos(a)　離心率 e=F/A　通径(x=F のときの y の値の正の方) l=B^2/A　

　r*[1+e*cos(a)]=l　

〇 離心率 (焦点の位置のずれの割合) e=F/A=root(A^2-B^2)/A=root[1-(B/A)^2]　

　F=A*e　B=A*root(1-e^2)　

〇 通径 (x=F のときの y の値の正の方) l=B^2/A=A*(1-e^2)
 　A=l/(1-e^2)　F=l*e/(1-e^2)　B=l/root(1-e^2)　

〇 r_min=l/(1+e)　r_max=l/(1-e)　e=(1-r_min/r_max)/(1+r_min/r_max)　

〓　{計算例}楕円　〓　

▢ 焦点の1つを原点とする楕円 通径 l 離心率 e　楕円 r*[1+e*cos(a)]=l

B/A=1/2　のとき　e=√3/2

▷ a=0　のとき、

　r_min/l=1/(1+√3/2)=2/(2+√3)=2*(2-√3)~2*(2-1.732)=0.536

a=Pi/6　のとき、

　e*cos(Pi/6)=(√3/2)*(√3/2)=3/4　r/l=1/(1+3/4)=4/7~0.571　

a=Pi/4　のとき、

　e*cos(Pi/4)=(√3/2)*(√2/2)=√6/4　
　r/l=1/(1+√6/4)=4/(4+√6)=4*(4-√6)/10~2*(4-2.449)/5~0.620　

a=Pi/3　のとき、

　e*cos(Pi/3)=(√3/2)*(1/2)=√3/4　
　r/l=1/(1+√3/4)=4/(4+√3)=4*(4-√3)/13~4*(4-1.732)/13~0.698　

a=Pi/2　のとき、

　e*cos(Pi/2)=(√3/2)*0=0　r/l=1/(1+0)=1　※ 通径の意味　

a=2*Pi/3　のとき、

　e*cos(2*Pi/3)=(√3/2)*(-1/2)=-√3/4　
　r/l=1/(1-√3/4)=4*(4+√3)/13~4*(4+1.732)/13~1.764　

a=3*Pi/4　のとき、

　e*cos(3*Pi/4)=(√3/2)*(-√2/2)=-√6/4　
　r/l=1/(1-√6/4)=4*(4+√6)=4*(4+√6)/10~2*(4+2.449)/5~2.580　

a=5*Pi/6　のとき、

　e*cos(5*Pi/6)=(√3/2)*(-√3/2)=-3/4　
　r/l=1/(1-3/4)=4　

a=Pi　のとき、

　r_max/l=1/(1-√3/2)=2/(2-√3)=2*(2+√3)~2*(2+1.732)=7.464　

===　まとめ　===

B/A=1/2　のとき　e=√3/2　以下 (a , r_min/l)

　(0 , 0.536)　(Pi/6 , 0.571)　(Pi/4 , 0.620)　(Pi/3 , 0.698)　(Pi/2 , 1)

　(2*Pi/3 , 1.764)　(3*Pi/4 , 2.580)　(5*Pi/6 , 4)　(Pi , 7.464)

{焦点は大きくずれていて、軌道は彗星のよう!}
{面倒くさくても、以上のような計算は1回はしておくべき。そういう事をしないから、理解が深まらない!}

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