★山と宇宙とバスケ>お勉強>数学>微分　　2014/5-2011/9　Yuji.W

◎ 全微分　total differential

◇微分;x　時間微分'　y;x=Y

◆〓　2つの変数 x,y の関数 F(x,y)　〓◆

■ 全微分 dF=(F;x)*dx+(F;y)*dy〔★〕

　dF/dx=F;x+(F;y)*y;x　dF/dy=(F;x)*(x;y)+F;y〔★〕

◆〓　変数 x　その関数 y(x)　その微分 y;x=Y

以上の3つから表される汎関数(関数の関数) F(x,y,Y)　〓◆

■ 全微分 dF=(F;x)*dx+(F;y)*dy+(F;Y)*dY〔★〕

　dF/dx=F;x+(F;y)*(y;x)+(F;Y)*(Y;x)〔★〕

★ y=3*x^2　Y=y;x=6*x　F(x,y,Y)=2*y+3*Y-10*x=6*x^2+8*x

　F;x=-10　F;y=2　F;Y=3

　dF/dx=F;x+(F;y)*(y;x)+(F;Y)*(Y;x)=-10+2*(6*x)+3*6=12*x+8

また　dF/dx=d(6*x^2+8*x)/dx=12*x+8

★ y=3*sin(2*x)　Y=y;x=6*cos(2*x)

　F(y,Y)=2*y+3*Y=6*sin(2*x)+18*cos(2*x)

　F;x=0　F;y=2　F;Y=3

　dF/dx
=(F;y)*(y;x)+(F;Y)*(Y;x)
=2*[6*cos(2*x)]+3*[-12*sin(2*x)]
=12*cos(2*x)-36*sin(2*x)

また　dF/dx=d[6*sin(2*x)+18*cos(2*x)]/dx=12*cos(2*x)-36*sin(2*x)

■ 関数 F は、x,y の関数　x,y は、t の関数

　F;t=F;x*x;t+F;y*y;t　★　

★ F(x,y)=x^2-y^2　x=Ct　y=St

　F;t=-(2*x)*St-(2*y)*Ct=-2*Ct*St-2*St*Ct=-4*St*Ct

{別解}　F(x,y)=Ct^2-St^2=cos(2*t)

　F;t=-2*sin(2*t)=-4*St*Ct

★ F(x,y)=x^2-y^2　x=Ct　y=St

　F(x,y)=Ct^2-St^2=cos(2*t)

　F;t=-2*sin(2*t)=-4*St*Ct　�@

一方　F;x=2*x　x;t=-St　F;y=-2*y　y;t=Ct　だから、

　(F;x)*(x;t)+(F;y)*(y;t)
=-2*x*St-2*y*Ct
=-2*Ct*St-2*St*Ct
=-4*St*Ct　�A　　　�@=�A

★ x=t　y=t^2　f(x,y)=x^2*y+y^2

　f;t
=f;x*x;t+f;y*y;t
=(2*x*y)*1+(x^2+2*y)*(2*t)
=2*t^3+(3*t^2)*(2*t)
=8*t^3

{別解}　f(x,y)=t^4+t^4=2*t^4　f;t=8*t^3

{やはり具体例で考えると、理解が深まる!2014/1}

■ 関数 F は、x,y の関数　x,y は、u,v の関数

　F;u=F;x*x;u+F;y*y;u　F;v=F;x*x;v+F;y*y;v　★　

★ z=x*Cy　x=u^2+3*v　y=u*v

　z;u=z;x*x;u+z;y*y;u
=Cy*(2*u)-(x*Sy)*v
=2*u*cos(u*v)-(u^2+3*v)*v*sin(u*v)

{別解}　z=(u^2+3*v)*cos(u*v)　だから、

　z;u=2*u*cos(u*v)-(u^2+3*v)*v*sin(u*v)

■ []行列　'微分

　{[A]*[B]}'=[A]'*[B]+[A]*[B]'

★　全微分　★　<表示のお約束・物理定数>