数学-積分　　2014/1-2012　　Yuji.W

☆ 微分と積分の順序の交換 ☆

〔★〕複雑な定積分を求めることができる{高校でも大学でも習わなかったぞ!}

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca　sin(b)=Sb　tan(x)=Tx　10^x=Ten(x)
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　成分<>:x　内積*　外積#
e^(x)=exp(x)=E(x)　e^(i*x)=expi(x)=Ei(x)　微分;x　時間微分'　物理定数

{こんな事ができるんだ!2012}

■ f(x,y)=g(x)*h(y)　${g(x)*dx}=G(x)　と表す事ができるとき、

　${g(x)*h(y)*dx}[x:x1~x2]
=h(y)*${g(x)*dx}[x:x1~x2]
=h(y)*[G(x2)-G(x1)]

これを、y で 微分すると　h(y);y*[G(x2)-G(x1)]

一方　[g(x)*h(y)];y=g(x)*h(y);y　�@

これを、x で積分し、定積分 [x:x1~x2] を考えると、

　${[g(x)*h(y)];y*dx}[x:x1~x2]
=h(y);y*[G(x2)-G(x1)]　�A

�@�Aより　(${g(x)*h(y)*dx}[x:x1~x2]);y=${g(x)*h(y);y*dx}[x:x1~x2]

当たり前{!}

■ 公式を利用すると、次の式の定積分を求めることができる。{素晴らしい!}

　x^2*exp(-a*x^2)　x^a*ln(x)^n　exp(-x*y)*sin(y)/y

◎ a>0 のとき　${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]　を、
微分と積分の順序の交換の公式を使って求めよう。

● 2重積分を利用して　${exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=root(Pi)/2~0.89

　${exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=[root(Pi)/2]/root(a)~0.89/root(a)

● [exp(-a*x^2)];a=-x^2*exp(-a*x^2)

■ exp(-a*x^2)　a,x の関数

　${exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=[root(Pi)/2]/root(a)　a の関数

両辺を a で微分すると、

　左辺=(${exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]);a

ここで、微分と積分の順序の交換の公式を使って、

　左辺
=${[exp(-a*x^2)];a*dx}[x:0~∞]
=-${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]
=-(求めたい定積分)

　▼ a^(-1/2);a=-(1/2)/a^(3/2) ▼

　右辺=-[root(Pi)/4]/a^(3/2)　だから、

　${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=[root(Pi)/4]/a^(3/2) ★

★ ここまで来ると、a に値を代入することができて、

　${x^2*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=root(Pi)/4~0.44

　${x^2*exp(-2*x^2)*dx}[x:0~∞]=root(Pi/8)/4~0.16

　${x^2*exp(-3*x^2)*dx}[x:0~∞]=root(Pi/27)/4~0.09

■ さらに、a で微分すると、

　${x^4*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=[3*root(Pi)/8]/a^(5/2) ★

-----　まとめ　-----

■

● 0<x<1 で ln(x)<0　ln(0)=-∞　0*ln(0)=0

● (x^a);x=a*x^(a-1)　(x^a);a=ln(x)*(x^a)　{混乱しやすい!2014/1}

● ${x*ln(x)*dx}=[2*ln(x)-1]*x^2/4 ★ {変な形!2014/1}

{確かめ}　{[2*ln(x)-1]*x^2/4};
=(2/x)*x^2/4+[2*ln(x)-1]*x/2
=x/2+[2*ln(x)-1]*x/2
=x*ln(x)

● ${x*ln(x)*dx}[x:0~1]={[2*ln(x)-1]*x^2/4}[x:0~1]=-1/4

■ x^a a,xの関数

　${x^a*dx}[x:0~1]=[x^(a+1)]/(a+1)][x:0~1]=1/(a+1)

a で微分する。左辺の微分には、微分と積分の順序の変換の公式を使って、

　左辺
=(${x^a*dx}[x:0~1]);a
=${(x^a);a*dx}[x:0~1]
=${x^a*ln(x)*dx}[x:0~1]

　右辺=[1/(a+1)];a=-1/(a+1)^2

　${x^a*ln(x)*dx}[x:0~1]=-1/(a+1)^2 ★

★ a=1　${x*ln(x)*dx}[x:0~1]=-1/4

{別解}　部分積分を使って、求めることもできる。

　${x^a*ln(x)*dx}
=[1/(a+1)]*${[x^(a+1)];x*ln(x)*dx}
=[1/(a+1)]*x^(a+1)*ln(x)-[1/(a+1)]*${{[x^(a+1)]/x}*dx}
=[1/(a+1)]*x^(a+1)*ln(x)-[1/(a+1)]*${x^a*dx}
=[1/(a+1)]*x^(a+1)*ln(x)-[1/(a+1)^2]*[x^(a+1)]

0〜1 で定積分をとって、0*ln(0)=0 に注意して、

　${x^a*ln(x)*dx}[x:0~1]
=[1/(a+1)]*${[x^(a+1)];x*ln(x)*dx}
=[1/(a+1)]*x^(a+1)*ln(x)-[1/(a+1)]*${{[x^(a+1)]/x}*dx}
=[1/(a+1)]*x^(a+1)*ln(x)-[1/(a+1)]*${x^a*dx}
=-1/(a+1)^2　』

■ 求めた式　${x^a*ln(x)*dx}[x:0~1]=-1/(a+1)^2

さらに両辺を a で微分すると、

　左辺
=(${x^a*ln(x)*dx}[x:0~1]);a
=${(x^a);a*ln(x)*dx}[x:0~1]
=${ln(x)^2*x^a*dx}[x:0~1]

　右辺=+2/(a+1)^3　だから、

　${x^a*ln(x)^2*dx}[x:0~1]=+2/(a+1)^3 ★

繰り返せば、

　${x^a*ln(x)^n*dx}[x:0~1]=(-1)^n*n!/(a+1)^(n+1) ★

{へー、おもしろい！係数で微分する発想が素晴らしい！2013/5}

◎ I(x)=${[exp(-x*y)*sin(y)/y]*dy}[y:0~∞] を求めよう！

● ${[sin(y)/y]*dy}[y:0~∞]=Pi/2　{?}

■ I(x);x を求め、それを積分して、I(x) を求める。

　I(x);x=-${y*exp(-xy)*sin(y)/y*dy}[y:0~∞]
=-${exp(-xy)*sin(y)*dy}[y:0~∞]

ここで　${exp(-xy)*sin(y)*dy}=${exp(-xy)*[-cos(y)];y*dy}
=-exp(-xy)*cos(y)-x*${exp(-xy)*cos(y)*dy}

さらに、${exp(-xy)*cos(y)*dy}
=${exp(-xy)*[sin(y)];y*dy}
={exp(-xy)*[sin(y)]+x*${exp(-xy)*[sin(y)]*dy}　だから、

　${exp(-xy)*sin(y)*dy}
=-exp(-xy)*cos(y)-x*exp(-xy)*[sin(y)]-x^2*${exp(-xy)*[sin(y)]*dy}

　${exp(-xy)*sin(y)*dy}=-exp(-xy)*[cos(y)+x*sin(y)]/(x^2+1)

したがって、

I(x);x=+{exp(-xy)*[cos(y)+x*sin(y)]/(x^2+1)}[0~∞]
=-1/(x^2+1)

${1/(x^2+1)}d=arctan(x)　だから、

　I(x)=-arctan(x)+積分定数

I(0)=${sin(y)/y*dy}[y:0~∞]=Pi/2

　${exp(-xy)*sin(y)/y*dy}[y:0~∞]=-arctan(x)+Pi/2  ★

★　微分と積分の順序の交換　★