数学 図形  2017/10-2011 Yuji.W

☆ サイクロイド

 cycloid _物理定数

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ サイクロイド

◎ サイクロイド(cycloid) 円を水平面で転がした時に、円周上の点が描く軌跡。円の中心から見れば、円周上の1点がただ回転しているだけ{!}

サイクロイドを表す (x,y) と求めよう。回転した角 a をパラメータをして使う。

◆ 円[半径 R]をx軸上で転がし、右側に移動させる 回転角 a_rad 水平 x軸 高さ y軸

円周上の1点の軌跡 ? a=0 のとき 原点 2Pi ごとに繰り返し

■ 0≦y≦2*R 1回転で 0≦x≦2Pi*R

円の中心の位置 

円が角 a だけ転がると、円の中心は R*a だけ移動する 円の中心 R*(a , 1)

円の中心から見て x座標=-R*sin(a) y座標=-R*cos(a)

x,y座標で x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)]〔a:回転角〕 .サイクロイド

▲ x,y とも R に比例するから、円とか放物線と同じように、すべてのサイクロイドは相似である。

『サイクロイド』 2015/12

a_°

0

30

60

90

120

150

180

radで

0

Pi/6

Pi/3

Pi/2

2*Pi/3

5*Pi/6

Pi

x/R

0

Pi/6-1/2

Pi/3-root3/2

Pi/2-1

2*Pi/3+root3/2

5*Pi/6+1/2

Pi

小数で

0

0.02

0.18

0.57

1.23

2.12

3.14

y/R

0

1-root3/2

1/2

1

3/2

1+root3/2

2

小数で

0

0.13

0.5

1

1.5

1.87

2

◆ 下に垂れ下がったサイクロイド 横軸:x軸 縦軸(上向き):y軸

最も下に垂れ下がった点を原点

■ 上に膨らんでいるサイクロイド x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)]

上下反転 x=R*[a-sin(a)] y=-R*[1-cos(a)]

上に 2*R だけ持ち上げる x=R*[a-sin(a)] y=-R*[1-cos(a)]+2*R=R*[1+cos(a)]

左に Pi*R 動かす。a->a-Pi にして、

 x=R*[a-sin(a-Pi)]=R*[a+sin(a)]

 y=R*[1+cos(a-Pi)]=R*[1-cos(a)]

◇ 微分

◆ 垂れ下がったサイクロイド 最も高い点:原点 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸

回転角 a_rad a=0 で 原点

0≦y≦2*R 1回転で 0≦x≦2Pi*R x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)]

■ x;a=R*[1-cos(a)] y;a=R*sin(a) y;x=(y;a)/(x;a)=sin(a)/[1-cos(a)]

≫ y;x=sin(a)/[1-cos(a)] .

a=0 で y;x
=lim[a->0]{sin(a)/[1-cos(a)]}
=lim[a->0]{sin(a);a/[1-cos(a)];a}
=lim[a->0]{cos(a)/sin(a)}
->+∞ ※ y軸は縦軸(下向き)

a=Pi/2 で y;x=1 a=Pi で y;x=0

■ (y;x);a
=[cos(a)*{1-cos(a)]-sin(a)^2}/[1-cos(a)]^2
=-[1-cos(a)]/[1-cos(a)]^2=-1/[1-cos(a)]

 y;;x
=[(y;x);a]/(x;a)
=-[1/[1-cos(a)]]/{R*[1-cos(a)]}
=-1/{R*[1-cos(a)]^2}

≫ y;;x=-1/{R*[1-cos(a)]^2} .

a=0 で y;;x->-∞ a=Pi/2 で y;;x=-1/R a=Pi で y;;x=-1/(4*R)

y;;x は a=0 を除く所で y;;x<0 y軸は縦軸(下向き)だから、グラフは上に開いた形


上に膨らんでいる 最も低い点:原点 横軸:x軸 縦軸(上向き):y軸

回転角 a_rad a=0 で 原点

0≦y≦2*R 1回転で -Pi*R≦x≦Pi*R x=R*[a+sin(a)] y=R*[1-cos(a)]

■ x;a=R*[1+cos(a)] y;a=R*sin(a) y;x=(y;a)/(x;a)=sin(a)/[1+cos(a)]

≫ y;x=sin(a)/[1+cos(a)] .

a=0 で y;x=0 a=Pi/2 で y;x=1

■ (y;x);a
={cos(a)*[1+cos(a)]+sin(a)^2}/[1+cos(a)]^2
=[1+cos(a)]/[1+cos(a)]^2
=1/[1+cos(a)]

 y;;x=[(y;x);a]/(x;a)=1/{R*[1+cos(a)]^2}

≫ y;;x=1/{R*[1+cos(a)]^2} .

a=0 で y;;x=1/(4*R) a=Pi/2 で y;;x=1/R

-Pi<a<Pi で y;;x>0 y軸は縦軸(上向き)だから、グラフは上に開いた形

◇ サイクロイド ◇

◆ 垂れ下がったサイクロイド 最も高い点:原点 横軸:x軸 縦軸(下向き):y軸

回転角 a_rad a=0 で 原点

■ 0≦y≦2*R 1回転で 0≦x≦2Pi*R x=R*[a-sin(a)] y=R*[1-cos(a)]

■ y;x=sin(a)/[1-cos(a)] y;;x=-1/{R*[1-cos(a)]^2}


上に膨らんでいるサイクロイド 最も低い点:原点 横軸:x軸 縦軸(上向き):y軸

回転角 a_rad a=0 で 原点

■ 0≦y≦2*R 1回転で -Pi*R≦x≦Pi*R x=R*[a+sin(a)] y=R*[1-cos(a)]

■ y;x=sin(a)/[1+cos(a)] y;;x=1/{R*[1+cos(a)]^2}

◇ サイクロイドの長さ

◆ サイクロイド a=0 から a までのサイクロイドの長さ s(a) 0≦a<Pi

■ ds^2=dx^2+dy^2

 (s;a)^2
=(x;a)^2+(y;a)^2
=R^2*[1-cos(a)]^2+R^2*sin(a)^2
=R^2*[1-2*cos(a)+cos(a)^2+sin(a)^2]
=2*R^2*[1-cos(a)]
=4*R^2*sin(a/2)^2

 s;a=2*R*sin(a/2)

 s(a)=-4*R*cos(a/2)+積分定数

a=0 で s=0 s(a)=4*R*[1-cos(a/2)] .

■ s(Pi)=4*R サイクロイド1個分の長さ=2*s(Pi)=8*R .

 サイクロイド1個分の横の距離=2Pi*R~6.28*R

◇ サイクロイドの面積

◆ x軸とサイクロイドに囲まれた面積(0<x<Pi) S

1周期分のサイクロイドとx軸との間の面積 S

● 直角三角形[原点-(Pi,2)*R-(Pi,0)*R]=Pi*R^2 {円の面積に等しい!2015/12}

■ S
=${y*dx}[x:0~Pi]
=${y*(x;a)*da}[a:0~Pi]
=R^2*${[1-cos(a)]^2*da}[a:0~Pi]

ここで [1-cos(a)]^2
=1-2*cos(a)+cos(a)^2
=1-2*cos(a)+[1+cos(2*a)]/2
=3/2-2*cos(a)+cos(2*a)/2

 S=R^2*[3*a/2-2*sin(a)+sin(2*a)/4][a:0~Pi]=(3/2)*Pi*R^2 .サイクロイド

----- まとめ -----

直角三角形の面積 Pi*R^2 サイクロイドの面積 (3/2)*Pi*R^2

◇ サイクロイドの回転体の体積

◆ サイクロイド x軸を軸 回転体 体積 V

● cos(a)*cos(b)=(1/2)*[cos(a+b)+cos(a-b)]

 cos(a)^3
=cos(a)*[1+cos(2*a)]/2
=cos(a)/2+cos(a)*cos(2*a)/2
=cos(a)/2+[cos(3*a)+cos(a)]/4
=(3/4)*cos(a)+(1/4)*cos(3*a)

■ V=2*Pi*${y^2*dx}[x:0~Pi]

 y=1-cos(a) x=a-sin(a) x;a=1-cos(a) [x:0~Pi]=[a:0~Pi]

 y^2*(x;a)
=[1-cos(a)]^2*[1-cos(a)]
=1-3*cos(a)+3*cos(a)^2-cos(a)^3
=1-3*cos(a)+3*[1+cos(2*a)]/2-(3/4)*cos(a)-(1/4)*cos(3*a)
=5/2-(15/4)*cos(a)+(3/2)*cos(2*a)-(1/4)*cos(3*a)

 V
=2Pi*[(5/2)*a-(15/4)*sin(a)+(3/4)*sin(2*a)-(1/12)*sin(3*a)][a:0~Pi]
=5*Pi^2
~49【
】{素晴らしい、よくできました!2013/10}

◇ サイクロイドの回転体の表面積

◆ サイクロイド x軸を軸 回転体 表面積 S

● sin(a/2)^2=(1/2)*[1-cos(a)] sin(a)*cos(b)=(1/2)*[sin(a+b)+sin(a-b)]

■ S=4Pi*${y*root[(x;a)^2+(y;a)^2]*da}[a:0~Pi]

 x;a=1-cos(a) y;a=sin(a)

 (x;a)^2+(y;a)^2
=1-2*cos(a)+cos(a)^2+sin(a)^2
=2*[1-cos(a)]=4*sin(a/2)^2

 root[(x;a)^2+(y;a)^2]=2*sin(a/2)

 S=8Pi*${[1-cos(a)]*sin(a/2)*da}[a:0~Pi]

 cos(a)*sin(a/2)=(1/2)*[sin(3*a/2)-sin(a/2)]

 [1-cos(a)]*sin(a/2)=(3/2)*sin(a/2)-(1/2)*sin(3*a/2)

 ${[1-cos(a)]*sin(a/2)*da}=-3*cos(a/2)+(1/3)*cos(3*a/2)

 [-3*cos(a/2)+(1/3)*cos(3*a/2)][a:0~Pi]=3-1/3=8/3

 S=8Pi*8/3=(64/3)*Pi【】{素晴らしい、よくできました!2013/10}

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