数学 複素数 2017/12-2015/10 Yuji.W
☆ 複素平面 ☆
◎ 複素平面 ガウス平面 虚数 imaginary number 複素数 complex number ★_
【表記のお約束】 10^x=Ten(x) 微分
; 時間微分
' 積分 $
ベクトル <A> 単位ベクトル
<-u> 座標単位ベクトル
<x> 内積
* 外積 #
ネイピア数 e 虚数単位
i e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
〓 複素数の定義 〓
■ 虚数単位 i i^2=-1 実数 x,y 複素数 z=x+i*y
〓 オイラーの公式 〓
◇ e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) と書くことにする
■ 実数 x に対して (絶対値1の複素数)=cos(x)+i*sin(x)=expi(x)
■ 実数 x,y 複素数 x+i*y に対して
exp(x+i*y)=exp(x)*expi(y)=exp(x)*[cos(y)+i*sin(y)]
|e^(x+i*y)|=|exp(x)|
■ 複素数 z に対して expi(z)=cos(z)+i*sin(z)
|expi(z)|=1 とは限らない
〓 複素平面(複素数平面,ガウス平面) 〓
◆ 虚数単位 i 実数 x,y 複素数 z=x+i*y
■ 複素数は、2つの実数の組合せであるから、平面上の点と対応させることができる。
1つの複素数 z ⇔ ２つの実数 x,y ⇔ xy平面上の点 (x,y)
絶対値 |z|=root(x^2+y^2)=[点(x,y)と原点との距離]
(偏角 a)=[点(x,y)と原点を結ぶ線分と、x軸とが作る角]
tan(a)=y/x 〔 x=0 のときは a=Pi/2 とする 〕
〓 複素平面(複素数平面,ガウス平面) 〓
■ 複素数は、2つの実数の組合せであるから、平面の点と対応させることができる。x軸を実数軸、y軸を虚数軸、x軸との角度を a
◆ 2つの複素数 z=|z|*[cos(a)+i*sin(a)] w=|w|*[cos(b)+i*sin(b)]
■
[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=[cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)]+i*[cos(a)*sin(b)+sin(a)*cos(b)]
=cos(a+b)+i*sin(a+b)
z*w
=|z|*|w|*[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=|z|*|w|*cos(a+b)+i*sin(a+b) ★.
■ \w=|w|*[cos(b)-i*sin(b)]=|w|*[cos(-b)+i*sin(-b)] ★.
z*\w=|z|*|w|*[cos(a-b)+i*sin(a-b)] ★.
■
|z+w|^2
=(z+w)*[\(z+w)]
=(z+w)*(\z+\w)
=z*\z+w*\w+z*\w+w*\z
=|z|^2+|w|^2
+|z|*|w|*[cos(a-b)+i*sin(a-b)]+|z|*|w|*[cos(-a+b)+i*sin(-a+b)]
=|z|^2+|w|^2+2*|z|*|w|*cos(a-b)
〓 複素平面(複素数平面,ガウス平面) 〓
■ 複素数は、2つの実数の組合せであるから、平面の点と対応させることができる。x軸を実数軸、y軸を虚数軸、x軸との角度を a
◆ 2つの複素数 z=|z|*[cos(a)+i*sin(a)] w=|w|*[cos(b)+i*sin(b)]
■
[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=[cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)]+i*[cos(a)*sin(b)+sin(a)*cos(b)]
=cos(a+b)+i*sin(a+b)
z*w
=|z|*|w|*[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=|z|*|w|*cos(a+b)+i*sin(a+b) ★.
■ \w=|w|*[cos(b)-i*sin(b)]=|w|*[cos(-b)+i*sin(-b)] ★.
z*\w=|z|*|w|*[cos(a-b)+i*sin(a-b)] ★.
■
|z+w|^2
=(z+w)*[\(z+w)]
=(z+w)*(\z+\w)
=z*\z+w*\w+z*\w+w*\z
=|z|^2+|w|^2
+|z|*|w|*[cos(a-b)+i*sin(a-b)]+|z|*|w|*[cos(-a+b)+i*sin(-a+b)]
=|z|^2+|w|^2+2*|z|*|w|*cos(a-b)
〓 三角形の余弦定理 〓
複素平面を使って、三角形の余弦定理を導きだそう。
◆ 3点 O,A,B 複素平面で 原点,z,w zの偏角 a wの偏角 b ∠AOB=a-b
AB^2=|z-w|^2
■
AB^2
=|z-w|^2
=|z|^2+|w|^2-2*|z|*|w|*cos(a-b)
=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB)
≫ AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB) 余弦定理
▲ ∠AOB=Pi/2 のとき AB^2=OA^2+OB^2
〓 複素平面と平面ベクトル 〓
◎ 複素平面と、平面ベクトルを対応させることができる。
◆ 複素数 z,w z=x+i*y w=u+i*v〔x,y,X,Y:実数〕
平面ベクトル <A>,<B> z ⇔ <A> w ⇔ <B>
<A>=<x y> <B>=<u v>
■ \z*w=(x-i*y)*(u+i*v)=(x*u+y*v)+i*(x*v-y*u) ①
内積 <A>*<B>=x*u+y*v ②
外積の z 成分 (<A>#<B>のz成分)=x*v-y*u ③
①②③より、
\z*wの実数部=<A>*<B> \z*wの虚数部の係数=(<A>#<B>のz成分)
\z*w=<A>*<B>+i*(<A>#<B>のz成分) ★.{おもしろい!2014/1}
■
複素数の垂直 ⇔ <A>*<B>=0 ⇔
Re[\z*w]=0
⇔ [\z*w] の実数部がない ⇔ \z*w
が純虚数
⇔ z/w が純虚数