数学 複素数 2017/12-2012 Yuji.W

☆ 複素指数関数,オイラーの公式

複素指数関数=指数が複素数である関数 complex exponential オイラーの公式Leonhard Euler 数学者、天文学者 1707~1783 _

【表記のお約束】 10^x=Ten(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $
ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

〓 複素数の定義 〓 

■ 虚数単位 i i^2=-1 任意の実数 x,y 複素数 z=x+i*y

〓 {例}指数法則 〓 

■ 2^3*2^4=2^(3+4)=2^7

 (2*5)^3=2^3*5^3

 (2^3)^2=2^(3*2)=2^6

〓 絶対値 1 の複素数 〓 

◆ 絶対値 1 の複素数 z 実数 x を使って、次のように表せる

 z(x)=cos(x)+i*sin(x) 〔 x の単位:ラジアン 〕について考える

x で微分すると z(x);x=-sin(x)+i*cos(x)

また i*z(x)=i*cos(x)-sin(x)=-sin(x)+i*cos(x)

⇒ z(x);x=i*z(x)

 [z(x);x]/z(x)=i _

積分すると ln[z(x)]=i*x+C 〔 C:積分定数 〕

ネイピア数 e を使って z(x)=e^(i*x+C)=e^C*e^(i*x)

ここで z(0)=cos(0)+i*sin(0)=1 だから e^C=1

⇒ z(x)=e^(i*x)

》 実数 x に対して

絶対値 1 の複素数 cos(x)+i*sin(x)=e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) _

※ expi(x) は私のページだけの表示

▲ 実数 x に対して考えたが、複素数 x に対して成り立つとして、

 cos(x)+i*sin(x)=e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) _オイラーの公式

※ |e^(i*x)|=1 とは限らなくなる

〓 オイラーの公式 〓 

■ cos(x)+i*sin(x)=e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

※ x の単位:ラジアン
xが実数であれば |expi(x)|=1 xが虚数を含めば絶対値は1にならない
※ expi(x) は私のページだけの表示

〓 {計算例}オイラーの公式 〓 

■ x:実数 のとき

 expi(Pi/2)=e^(i*Pi/2)=cos(Pi/2)+i*sin(Pi/2)=i

 expi(Pi)=e^(i*Pi)=cos(Pi)+i*sin(Pi)=-1

》 expi(Pi/2)=e^(i*Pi/2)=i expi(Pi)=e^(i*Pi)=-1 _

■ x:純虚数 のとき x=i*a〔 a:実数 〕

 cos(i)+i*sin(i)=expi(i)=e^(i*i)=e^(-1)=1/e~0.368

 cos(i)-i*sin(i)=cos(-i)+i*sin(-i)=expi(-i)=e^(-i*i)=e^(+1)=e~2.718

■ z=x+i*y〔 x,y:実数 〕のとき、

 exp(z)=exp(x+i*y)=exp(x)*expi(y)=exp(x)*[cos(y)+i*sin(y)] _

 expi(z)
=expi(x+i*y)
=expi(x)*expi(i*y)
=[cos(x)+i*sin(x)]*exp(-y)
=[cos(x)+i*sin(x)]/exp(y)

》 expi(x+i*y)=[cos(x)+i*sin(x)]/exp(y) _

★ exp(2+i*Pi/6)=e^2*(root3+i)/2~6.40+i*3.69

★ expi(Pi/6+i*2)=expi(Pi/6)*exp(-2)=(root3+i)/(2*e^2)~0.12+i*0.07

★ expi(Pi/6-i*2)=expi(Pi/6)*exp(2)=[(root3+i)/2]*e^2~6.40+i*3.69

〓 expi(Pi)=-1 〓 

◎ オイラーの公式を使わないで、expi(Pi)=-1 を確かめたい。

■ |x|<<1 で exp(x)=1+x 誤差~x^2/2

 1/64=0.015625 (1/64)^2/2=0.000122

■ expi(1/64)=1+i/64 誤差は 0.0001 程度

■ expi(1/32)
=expi[(1/64)*2]=expi(1/64)^2=(1+i/64)^2=0.99976+i*0.03125

同様にして

 expi(1/16)=0.99854+i*0.06248

 expi(1/8)=0.99317+i*0.12479

 expi(1/4)=0.97081+i*0.24787

 expi(1/2)=0.88104+i*0.48127

 expi(1)=0.54460+i*0.84803

 expi(2)=-0.42255+i*0.92368

ここで Pi=3.14159=2+1+1/8+0.01659

 expi(0.01659)=1+i*0.01659

 expi(Pi)
=expi(2+1+1/8+0.01659)
=expi(2)*expi(1)*expi(1/8)*expi(0.01659)
=(-0.42255+i*0.92368)*(0.54460+i*0.84803)
*(0.99317+i*0.12479)*(1+i*0.01659)
=(-1.0134+i*0.14470)*(0.99110+i*0.14127)
=-1.0249-i*0.00025

≫ expi(Pi)=-1.0249-i*0.00025~-1 .{素晴らしい!}

〓 オイラーの公式から 〓 

e^[i*(x+2*Pi)]
=cos(x+2*Pi)+i*sin(x+2*Pi)
=cos(x)+i*sin(x)
=e^(i*x)

》 e^[i*(x+2*Pi)]=e^(i*x) すなわち expi*(x+2*Pi)=expi(x) _

e^i=expi(1)=cos(1)+i*sin(1)~0.54+i*0.84

 e^(2*i)=expi(2)=cos(2)+i*sin(2)~-0.42+i*0.91

{確かめ} e^(2*i)
=(e^i)^2
~(0.54+i*0.84)^2
=0.2916+i*0.9072-0.7056
=-0.4140+i*0.9072

e^(i*Pi)=expi(Pi)=cos(Pi)+i*sin(Pi)=-1

》 e^(i*Pi)=-1 _

e^(i*Pi/2)=expi(Pi/2)=cos(Pi/2)+i*sin(Pi/2)=i

{確かめ} e^(i*Pi)=[e^(i*Pi/2)]^2=i^2=-1

e^(i*Pi/6)=cos(Pi/6)+i*sin(Pi/6)=root3/2+i/2

〓 正の実数の虚数乗 〓 

◆ ネイピア数 e 正の実数 a 実数 x a^(i*x) ?

a=e^ln(a) だから、

 a^(i*x)=[e^ln(a)]^(i*x)=expi(x)^ln(a) _

★ 3^(i*Pi/2)=expi(Pi/2)^ln(3)=i^ln(3)

〓 オイラーの公式 〓 

◇ e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) と書くことにする

■ 実数 x に対して (絶対値1の複素数)=cos(x)+i*sin(x)=expi(x)

■ 実数 x,y 複素数 x+i*y に対して

 exp(x+i*y)=exp(x)*expi(y)=exp(x)*[cos(y)+i*sin(y)]

 |e^(x+i*y)|=|exp(x)|

■ 複素数 z に対して expi(z)=cos(z)+i*sin(z)

※ |expi(z)|=1 とは限らない

〓 ド・モアブルの定理 〓 

■ expi(a)*expi(b)=expi(a+b) .ド・モアブルの定理

■ expi(a)^n=expi(n*a)

〓 A*expi(w*t+α) 〓 

■ A,w,t,α 実数

 A*expi(w*t+α)=A*expi(w*t)*expi(α)=A*expi(α)*expi(w*t)
={A^}*expi(w*t)

ただし、{A^}=A*expi(α)=実数*複素数=複素数

 t=0 のときの位相のずれ α は、振幅 A の複素数版 {A^} に吸収される .

〓 複素指数関数の和 〓 

◆ expi(a),expi(b) 複素平面上で、大きさ(長さ) 1 のベクトルとみなすことができる。

■ expi(a)+expi(b) 大きさ(長さ)の最大値 2 最小値 0 .

■ |expi(a)+expi(b)|^2=[expi(a)+expi(b)]*[expi(-a)+expi(-b)]
=1+expi(a)*expi(-b)+expi(-a)+expi(b)+1
=2+expi(a-b)+expi(-a+b)=2*[1+cos(a-b)]

▲ a=b のとき、|expi(a)+expi(b)|^2=4
a-b=Pi のとき、|expi(a)+expi(b)|^2=0

〓 オイラーの公式から三角関数の性質 〓 

■ expi(a)*expi(b)=expi(a+b) を、三角関数で表せば、

 左辺=[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)+i*[cos(a)*sin(b)+sin(a)*cos(b)]

 右辺=cos(a+b)+i*sin(a+b)

したがって、

 cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)=cos(a+b)
 cos(a)*sin(b)+cos(b)*sin(a)=sin(a+b)

■ cos(x)={expi[x]+expi[-x]}/2 sin(x)={expi[x]-expi[-x]}/(2i)

■ expi(a+b+c)=expi(a)*expi(b)*expi(c) 

 左辺=cos(a+b+c)+i*sin(a+b+c)

 右辺
=[cos(a)+i*sin(a)]*
{cos(b)*cos(c)-sin(b)*sin(c)+i*[cos(b)*sin(c)+cos(c)*sin(b)]}

 右辺の実数部
=cos(a)*[cos(b)*cos(c)-sin(b)*sin(c)]
-sin(a)*[cos(b)*sin(c)+sin(b)*cos(c)]
=cos(a)*cos(b)*cos(c)-cos(a)*sin(b)*sin(c)
-sin(a)*cos(b)*sin(c)-sin(a)*sin(b)*cos(c)

 右辺の虚数部
=cos(a)*[cos(b)*sin(c)+sin(b)*cos(c)]
+sin(a)*[cos(b)*cos(c)-sin(b)*sin(c)]
=cos(a)*cos(b)*sin(c)+cos(a)*sin(b)*cos(c)
+sin(a)*cos(b)*cos(c)-sin(a)*sin(b)*sin(c)

左辺と右辺を比べて、

 cos(a+b+c)
=cos(a)*cos(b)*cos(c)-cos(a)*sin(b)*sin(c)
-sin(a)*cos(b)*sin(c)-sin(a)*sin(b)*cos(c)

 略して C(a+b+c)=C*C*C-C*S*S-S*C*S-S*S*C

 sin(a+b+c)
=cos(a)*cos(b)*sin(c)+cos(a)*sin(b)*cos(c)
+sin(a)*cos(b)*cos(c)-sin(a)*sin(b)*sin(c)

 略して S(a+b+c)=C*C*S+C*S*C+S*C*C-S*S*S

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