お勉強しようUz 数学.関数

2016/3-2012 Yuji.W

複素指数関数,オイラーの公式

◎ 複素指数関数=指数が複素数である関数 complex exponential オイラーの公式

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積#  物理定数.

◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇オイラーさん◇

■ Leonhard Euler 数学者、天文学者 1707~1783 (江戸中期)

◇指数法則◇

■ 2^3*2^4=2^7 (2*5)^3=2^3*5^3 (2^3)^2=2^6

■ 指数法則

 a^m*a^n=a^(m+n) (a*b)^m=(a^m)*(b^m) (a^m)^n=a^(m*n)

■ 任意の複素数 z,w 任意の実数 a に対して、指数法則が成り立つとする

 a^z*a^w=a^(z+w) (a^z)^w=a^(z*w)

※ たぶん、a は実数という制限はいらないと思うが、よくわからない。

■ 任意の複素数 z=x+i*y〔x,y:実数〕 任意の実数 a

 a^z=a^(x+i*y)=a^x*a^(i*y)

ここで a^(i*y)=(a^i)^y

■ 任意の実数 a ネイピア数 e

 a=e^[ln(a)] だから a^i={e^[ln(a)]}^i=(e^i)^ln(a)=exp(i)^ln(a)

{まとめ} exp(i) がどういう数がわかれば ⇒ a^i がわかる ⇒ a^z がわかる

以下 exp(i)=expi(1) がどういう数か調べる{!}

◇オイラーの公式◇

■ 複素数 x cos(x)+i*sin(x)=expi(x) .オイラーの公式

■【 オイラーの公式の証明 】{方法は多数あるらしい!}

cos(x)+i*sin(x)=z(x) と置く。

初期値 z(0)=cos(0)+i*sin(0)=1

微分すると z;x=-sin(x)+i*cos(x)=i*[cos(x)+i*sin(x)]=i*z

 z;x=i*z

 z=expi(x)+積分定数

z(0)=1 より 積分定数=0

 z=expi(x)

 cos(x)+i*sin(x)=expi(x) ‖

※ 証明より、x は複素数でもよい

{最も鮮やかな証明だと思う!どなたが発見したのか?2015/9}

{別解} 実数の場合の指数関数の定理が、複素数でも成り立つとして、

 cos(a)=1-(1/2!)*a^2+(1/4!)*a^4-(1/6!)*a^6+…
 sin(a)=a-(1/3!)*a^3+(1/5!)*a^5-(1/7!)*a^7+…
 expi(a)=1+i*a-(1/2!)*a^2-(1/3!)*a^3+…

したがって、expi(a)=cos(a)+i*sin(a)

◇expi(x)◇

■ オイラーの公式 expi(x)=cos(x)+i*sin(x) より、

@ expi(x) は、1つの複素数である

A |expi(x)|^2=expi(x)*expi(-x)=expi(x-x)=expi(0)=1 expi(x) の大きさは 1

B expi(x) を複素平面上で表せば、偏角 x となる

■ expi(1)=cos(1)+i*sin(1)~0.54+i*0.84 .

 e^i~0.54+i*0.84 .これで (任意の実数)^(任意の複素数) が定義できる

■ expi(Pi/4)=roo2*(1+i)/2

 expi(Pi/2)=i expi(Pi)=-1 expi(3Pi/2)=-i

■ expi(x)+expi(-x)
=[cos(x)+i*sin(x)]+[cos(x)-i*sin(x)]
=2*cos(x)
.

 expi(x)-expi(-x)
=[cos(x)+i*sin(x)]-[cos(x)-i*sin(x)]
=i*2*sin(x)
.

◇ド・モアブルの定理◇

■ expi(a)*expi(b)=expi(a+b) .ド・モアブルの定理

■ expi(a)^n=expi(n*a)

◇expi(Pi)=-1◇

◎ オイラーの公式を使わないで、expi(Pi)=-1 を確かめたい。

■ |x|<<1 で exp(x)=1+x 誤差~x^2/2

 1/64=0.015625 (1/64)^2/2=0.000122

■ expi(1/64)=1+i/64 誤差は 0.0001 程度

■ expi(1/32)
=expi[(1/64)*2]=expi(1/64)^2=(1+i/64)^2=0.99976+i*0.03125

同様にして

 expi(1/16)=0.99854+i*0.06248

 expi(1/8)=0.99317+i*0.12479

 expi(1/4)=0.97081+i*0.24787

 expi(1/2)=0.88104+i*0.48127

 expi(1)=0.54460+i*0.84803

 expi(2)=-0.42255+i*0.92368

ここで Pi=3.14159=2+1+1/8+0.01659

 expi(0.01659)=1+i*0.01659

 expi(Pi)
=expi(2+1+1/8+0.01659)
=expi(2)*expi(1)*expi(1/8)*expi(0.01659)
=(-0.42255+i*0.92368)*(0.54460+i*0.84803)
*(0.99317+i*0.12479)*(1+i*0.01659)
=(-1.0134+i*0.14470)*(0.99110+i*0.14127)
=-1.0249-i*0.00025

≫ expi(Pi)=-1.0249-i*0.00025~-1 .{素晴らしい!}

◇i^i◇

◎ e^i~0.54+i*0.84 より (任意の実数)^(任意の複素数) が定義できる

さらに (任意の複素数)^(任意の複素数) に拡張したい。(虚数)^(虚数) を考える。

■ i^i
=[expi(Pi/2)]^i
=exp[i*(Pi/2)*i]
=exp(-Pi/2)
=1/exp(Pi/2)
~1/exp(1.57)
~1/4.8
~0.208

≫ i^i=1/exp(Pi/2)~0.208 .{実数になるんだ!}

◇root(i)◇

◎ root(i) ? root(-i) ?

■ (1+i)^2=1+i*2+i^2=1+i*2-1=i*2

 1+i=root(i*2)=root(i)*root2

 root(i)=(1+i)/root2

同様に [-(1+i)]^2=i*2

まとめて root(i)=(+-)*(1+i)/root2 .

■ root(-i)=(+-)*(1-i)/root2 .

◇解が複素数になる方程式◇

◎ 解が複素数になる場合でも、複素指数関数を使えば解ける。

◆ z^3=1 z?

■ 解 z=|z|*expi(x) と置く

方程式より |z^3|=1

 z^3=|z|^3*expi(x)^3=|z|^3*expi(3*x)

 1=|z^3|=|z|^3*|expi(3*x)|=|z|^3*1=|z|^3

 |z|=1

解 z=expi(x) と置ける

 1=z^3=expi(x)^3=expi(3*x)

ここで 1=expi(2*n*Pi)〔n:整数〕だから、

 2*n*Pi=3*x

 x=(2/3)*n*Pi

 x=0 , (2/3)*Pi , (4/3)*Pi あとは繰り返しになる

x=0 z=1

x=(2/3)*Pi

 z=expi[(2/3)*Pi]=cos[(2/3)*Pi]+i*sin[(2/3)*Pi]=(-1+i*root3)/2

x=(4/3)*Pi z=(-1-i*root3)/2

{まとめ} z^3=1 の解 z=1 , (-1+i*root3)/2 , (-1-i*root3)/2

ここで w=expi(2Pi/3)=(-1+i*root3)/2 と置けば、

 w^2=(-1-i*root3)/2 となるので、

 z^3=1 の解 z=1 , w , w^2〔w=expi(2Pi/3)=(-1+i*root3)/2〕 .


◆ 方程式 z^4=-1

■ z=expi(x) と置くと [expi(x)]^4=-1 expi(4*x)=-1

 4*x=Pi+2Pi*(整数) x=Pi/4+(Pi/2)*(整数) x/Pi=1/4,3/4,5/4,7/4

 expi(Pi/4)=(1+i)*root2/2 expi(3Pi/4)=(-1+i)*root2/2
 expi(5Pi/4)=(-1-i)*root2/2 expi(7Pi/4)=(1-i)*root2/2

{簡単な例を解くと、理解が深まる。やはり、自分の手でいろいろ解いてみないと!2014/2}

◇複素平面-複素数平面-ガウス平面◇

■ 複素数は、2つの実数の組合せであるから、平面の点と対応させることができる。

・x軸を実数軸、y軸を虚数軸、x軸との角度を a

・2つの複素数 z=|z|*expi(a) w=|w|*expi(b) は、複素平面上で、それぞれ、大きさ(長さ) |z|,|w| のベクトルとみなすことができる。

・z+w の大きさ(長さ)の最大値 |z|+|w| 最小値 0

■ 2つの複素数 z=|z|*expi(a) w=|w|*expi(b)

 z*w=|z|*|w|*expi(a)*expi(b)=|z|*|w|*expi(a+b)

 z*\w=|z|*|w|*expi(a)*expi(-b)=|z|*|w|*expi(a-b)

 z*z=|z|^2*expi(2*a) z*\z=|z|^2*expi(0)=|z|^2

 (z+w)^2
=|z|^2*expi(2*a)+2*|z|*|w|*expi(a+b)+|w|^2*expi(2*b)

 |z+w|^2
=(z+w)*(z+w)~
=(z+w)*(\z+\w)
=|z|^2+|w|^2+z*\w+\z*w
=|z|^2+|w|^2+|z|*|w|*[expi(a-b)+expi(-a+b)]
=|z|^2+|w|^2+2*|z|*|w|*cos(a-b)

★ |expi(Pi/2)+expi(-Pi/3)|^2
=1+1+2*1*1*cos(Pi/2+Pi/3)
=2+2*cos(5Pi/6)
=2-root3

◇A*expi(w*t+α)◇

■ A,w,t,α 実数

 A*expi(w*t+α)=A*expi(w*t)*expi(α)=A*expi(α)*expi(w*t)
={A^}*expi(w*t)

ただし、{A^}=A*expi(α)=実数*複素数=複素数

 t=0 のときの位相のずれ α は、振幅 A の複素数版 {A^} に吸収される .

◇複素指数関数の和◇

◆ expi(a),expi(b) 複素平面上で、大きさ(長さ) 1 のベクトルとみなすことができる。

■ expi(a)+expi(b) 大きさ(長さ)の最大値 2 最小値 0 .

■ |expi(a)+expi(b)|^2=[expi(a)+expi(b)]*[expi(-a)+expi(-b)]
=1+expi(a)*expi(-b)+expi(-a)+expi(b)+1
=2+expi(a-b)+expi(-a+b)=2*[1+cos(a-b)]

▲ a=b のとき、|expi(a)+expi(b)|^2=4
a-b=Pi のとき、|expi(a)+expi(b)|^2=0

◇オイラーの公式から三角関数の性質◇

■ expi(a)*expi(b)=expi(a+b) を、三角関数で表せば、

 左辺=[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)+i*[cos(a)*sin(b)+sin(a)*cos(b)]

 右辺=cos(a+b)+i*sin(a+b)

したがって、

 cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)=cos(a+b)
 cos(a)*sin(b)+cos(b)*sin(a)=sin(a+b)

■ cos(x)={expi[x]+expi[-x]}/2 sin(x)={expi[x]-expi[-x]}/(2i)

■ expi(a+b+c)=expi(a)*expi(b)*expi(c) 

 左辺=cos(a+b+c)+i*sin(a+b+c)

 右辺
=[cos(a)+i*sin(a)]*
{cos(b)*cos(c)-sin(b)*sin(c)+i*[cos(b)*sin(c)+cos(c)*sin(b)]}

 右辺の実数部
=cos(a)*[cos(b)*cos(c)-sin(b)*sin(c)]
-sin(a)*[cos(b)*sin(c)+sin(b)*cos(c)]
=cos(a)*cos(b)*cos(c)-cos(a)*sin(b)*sin(c)
-sin(a)*cos(b)*sin(c)-sin(a)*sin(b)*cos(c)

 右辺の虚数部
=cos(a)*[cos(b)*sin(c)+sin(b)*cos(c)]
+sin(a)*[cos(b)*cos(c)-sin(b)*sin(c)]
=cos(a)*cos(b)*sin(c)+cos(a)*sin(b)*cos(c)
+sin(a)*cos(b)*cos(c)-sin(a)*sin(b)*sin(c)

左辺と右辺を比べて、

 cos(a+b+c)
=cos(a)*cos(b)*cos(c)-cos(a)*sin(b)*sin(c)
-sin(a)*cos(b)*sin(c)-sin(a)*sin(b)*cos(c)

 略して C(a+b+c)=C*C*C-C*S*S-S*C*S-S*S*C

 sin(a+b+c)
=cos(a)*cos(b)*sin(c)+cos(a)*sin(b)*cos(c)
+sin(a)*cos(b)*cos(c)-sin(a)*sin(b)*sin(c)

 略して S(a+b+c)=C*C*S+C*S*C+S*C*C-S*S*S

  複素指数関数,オイラーの公式  

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