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2015/10 Yuji.W |
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☆複素フーリエ級数☆ |
◎ 複素指数関数=指数が複素数である関数 complex exponential
複素指数で展開しても、三角関数で展開しても、結果は同じ{!}
◇ e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
◇
ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分 y;x 2階微分 y;;x 時間微分
y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分
${f(x)*dx}[x:a~b]
2^3=8 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 複素共役
z! 〔物理定数〕
★.2015/10/07
| ☆まとめ-いろいろなフーリエ級数☆ |
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『いろいろなフーリエ級数』 2015/10 周期 [-Pi~Pi] ■ 矩形波 f(-Pi<x<0)=-1 f(0<x<Pi)=1 f(x)=(4/Pi)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…] ■ のこぎり波 x=2*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+sin(5*x)/5-…] ■ 偶関数の三角波 f(-Pi<x<0)=x+Pi/2 f(0<x<Pi)=-x+Pi/2 f(x)=(Pi/4)*[cos(x)+cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+…] ■ 奇関数の三角波 f(-Pi<x<-Pi/2)=-x-Pi f(-Pi/2<x<Pi/2)=x f(Pi/2<x<Pi)=-x+Pi f(x)=(Pi/4)*[sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25+…] ■ x^2=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+…] |
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| ☆複素フーリエ級数☆ |
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『複素フーリエ級数』 2015/10 ◆ -Pi~Pi の周期関数 または -Pi<x<Pi だけで定義された関数 f(x) ■ 整数 n 係数 En f(x) E0=[1/(2Pi)]*${f(x)*dx}[x:-Pi~Pi] En=[1/(2Pi)]*${f(x)*expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~Pi] ◆ -L~L の周期関数 または -L<x<L だけで定義された関数 f(x) ■ 整数 n 係数 En f(x) E0=[1/(2*L)]*${f(x)*expi(-n*Pi*x/L)*dx}[x:-L~L] En=[1/(2*L)]*${f(x)*expi(-n*Pi*x/L)*dx}[x:-L~L] ※ f(x):奇関数 のとき En=-E(-n) E0=0 f(x):偶関数 のとき En=E(-n) |
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『オイラーの公式』 2015/10 ■ expi(x)=cos(x)+i*sin(x) expi(Pi)=-1 expi(x)+expi(-x)=2*cos(x) expi(x)-expi(-x)=i*2*sin(x) |
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『指数関数、複素指数関数の積分』 2015/10 ◇ exp(i*x)=expi(x) ■ ${x*exp(a*x)*dx}=x*exp(a*x)/a-exp(a*x)/a^2 ${x*expi(a*x)*dx}=-i*x*expi(a*x)/a+expi(a*x)/a^2 ${x*expi(-a*x)*dx}=i*x*expi(-a*x)/a+expi(-a*x)/a^2 ■ ${x^2*exp(a*x)*dx}=x^2*exp(a*x)/a-2*x*exp(a*x)/a^2+2*exp(a*x)/a^3 ${x^2*expi(a*x)*dx} ${x^2*expi(-a*x)*dx} |
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| ☆矩形波☆ |
● sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7+sin(9*x)/9
◆ -Pi<x<0 で f(x)=-1 0<x<Pi で f(x)=+1 奇関数
■ E0=0
En*(2Pi)
=-${expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~0]+${expi(-n*x)*dx}[x:0~Pi]
=-[i*expi(-n*x)/n][x:-Pi~0]+[i*expi(-n*x)/n][x:0~Pi]
=2*i*expi(-n*x)/n][x:0~Pi]
=2*i*[expi(-n*Pi)/n-1/n]
≫ En=i*[expi(-n*Pi)-1]/(n*Pi)
E1=i*[expi(-Pi)-1]/Pi=-i*2/Pi
E2=i*[expi(-2*Pi)-1]/(2*Pi)=0
E3=i*[expi(-3*Pi)-1]/(3*Pi)=-i*2/(3*Pi)
E(-1)=-i*[expi(Pi)-1]/Pi=i*2/Pi
E(-2)=-i*[expi(2*Pi)-1]/(2*Pi)=0
E(-3)=-i*[expi(3*Pi)-1]/(3*Pi)=i*2/(3*Pi)
f(x)
=-i*(2/Pi)*[expi(x)+expi(3*x)/3+expi(5*x)/5+…
-expi(x)-expi(3*x)/3-expi(5*x)/5-…]
=-i*(2/Pi)*(2*i)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…]
=(4/Pi)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…]
≫ 矩形波 f(x)=(4/Pi)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…] ★.
{三角関数のフーリエ級数と一致している!よくできてるなあ!2015/10}
| ☆のこぎり波☆ |
◎ のこぎり波(三角波とは違う)を、フーリエ級数展開する
◆ 周期 [-Pi~Pi] f(x)=x 奇関数
■ E0=0
En*(2*Pi)
=${x*expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]
=[i*x*expi(-n*x)/n+expi(-n*x)/n^2][x:-Pi~Pi]
=[i*Pi*expi(-n*Pi)/n+expi(-n*Pi)/n^2]-[-i*Pi*expi(n*Pi)/n+expi(n*Pi)/n^2]
=i*Pi*2*cos(n*Pi)/n-2*i*sin(n*Pi)/n^2 ※
n:整数
=i*Pi*2*cos(n*Pi)/n
En=i*cos(n*Pi)/n
E1=i*cos(1*Pi)=-i
E2=i*cos(2*Pi)/2=i/2
E3=i*cos(3*Pi)/3=-i/3
E(-1)=-i*cos(-Pi)=i
E(-2)=-i*cos(-2*Pi)/2=-i/2
E(-3)=-i*cos(-3*Pi)/3=i/3
x
=-i*[expi(x)-expi(2*x)/2+expi(3*x)/3-expi(4*x)/4+…
-expi(x)+expi(2*x)/2-expi(3*x)/3+expi(4*x)/4+…]
=-i*(2*i)*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+…]
=2*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+…]
≫ のこぎり波 x=2*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+…] ★.
{計算をきちっとやる事!2015/10}
| ☆三角波☆ |
◆ 周期 [-Pi~Pi]
偶関数の三角波 f(-Pi<x<0)=x+Pi/2 f(0<x<Pi)=-x+Pi/2
■ E0=0
En*2Pi
=${(x+Pi/2)*expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~0]+${(-x+Pi/2)*expi(-n*x)*dx}[x:0~Pi]
=${x*expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~0]+(Pi/2)*${expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~0]
-${x*expi(-n*x)*dx}[x:0~Pi]+(Pi/2)*$expi(-n*x)*dx}[x:0~Pi]
=${x*expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~0]-${x*expi(-n*x)*dx}[x:0~Pi]
ここで ${x*expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~0]
=[i*x*expi(-n*x)/n+expi(-n*x)/n^2][x:-Pi~0]
=1/n^2-[-i*Pi*expi(n*Pi)/n+expi(n*Pi)/n^2]
=1/n^2+i*Pi*expi(n*Pi)/n-expi(n*Pi)/n^2 ①
${x*expi(-n*x)*dx}[x:0~Pi]
=[i*Pi*expi(-n*Pi)/n+expi(-n*Pi)/n^2]-1/n^2
=i*Pi*expi(-n*Pi)/n+expi(-n*Pi)/n^2]-1/n^2 ②
En*2Pi
=①-②
=[1/n^2+i*Pi*expi(n*Pi)/n-expi(n*Pi)/n^2]
-[i*Pi*expi(-n*Pi)/n+expi(-n*Pi)/n^2]-1/n^2]
=1/n^2+i*Pi*expi(n*Pi)/n-expi(n*Pi)/n^2
-i*Pi*expi(-n*Pi)/n-expi(-n*Pi)/n^2+1/n^2
=i*Pi*[expi(n*Pi)-expi(-n*i)]/n-[expi(n*Pi)+expi(-n*Pi)]/n^2+2/n^2
=-2*Pi*sin(n*Pi)/n-2*cos(n*Pi)/n^2+2/n^2 n:整数
=2*[1-cos(n*Pi)]/n^2
En=[1-cos(n*Pi)]/(n^2*Pi)
n:偶数 のとき En=0 n:奇数 のとき En=-2/(n^2*Pi)
E1=E(-1)=2/Pi E3=E(-3)=(2/Pi)/9 E5=E(-5)=(2/Pi)/25 …
偶関数の三角波
f(x)
=(2/Pi)*[expi(x)+expi(3*x)/9+expi(5*x)+…
expi(-x)+expi(-3*x)/9+expi(-5*x)+…]
=(4/Pi)*[cos(x)+cos(3*x)/9+cos(5*x)+…]
≫ 偶関数の三角波 f(x)=(4/Pi)*[cos(x)+cos(3*x)/9+cos(5*x)+…] ★.
| ☆放物線波☆ |
● cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+cos(5*x)/25
◆ 周期 [-Pi~Pi] x^2
■ E0*2Pi=${x^2*dx}[x:-Pi~Pi]=[x^3/3][x:-Pi~Pi]=2*Pi^3/3 E0=Pi^2/3
En*2Pi
=${x^2*expi(-n*x)*dx}[x:-Pi~Pi]
=[i*x^2*expi(-n*x)/n+2*x*expi(-n*x)/n^2-i*2*expi(-n*x)/n^3][x:-Pi~Pi]
=[i*Pi^2*expi(-n*Pi)/n+2*Pi*expi(-n*Pi)/n^2-i*2*expi(-n*Pi)/n^3]
-[i*Pi^2*expi(+n*Pi)/n-2*Pi*expi(+n*Pi)/n^2-i*2*expi(+n*Pi)/n^3]
=-i*Pi^2*[expi(+n*Pi)-expi(-n*Pi)]/n
+2*Pi*[expi(+n*Pi)+expi(-n*Pi)]/n^2
-i*2*[expi(+n*Pi)-expi(-n*Pi)]/n^3
=-i*Pi^2*(2*i)*sin(n*Pi)/n+2*Pi*2*cos(+n*Pi)/n^2-i*2*(2*i)*sin(n*Pi)/n^3
=2*Pi*2*cos(+n*Pi)/n^2
En=2*cos(n*Pi)/n^2
E1=E(-1)=-2 E2=E(-2)=2/4 E3=E(-3)=-2/9 E4=E(-4)=2/16
x^2
=Pi^2/3-2*[expi(x)-expi(2*x)/4+expi(3*x)/9-expi(4*x)/16+…
+expi(-x)-expi(-2*x)/4+expi(-3*x)/9-expi(-4*x)/16+…]
=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+…]
周期[-Pi~Pi] x^2=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+…] ★.
★ 複素フーリエ級数 ★