数学 複素数  2017/12-2015/10  Yuji.W

☆ 複素数

複素数の定義 虚数の平方根 2次方程式 複素平面 ガウス平面 三角形の余弦定理 虚数 imaginary number 複素数 complex number _

2018/1 〕3の2乗 3^2 10^x=Ten(x) yをxで微分 y;x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数 e e^x=exp(x) 底a log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)

虚数単位 i i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #

〓 複素数の定義 〓 

■ 虚数単位 i i^2=-1 . 任意の実数 x,y 複素数 z=x+i*y

実数部分 Re(z)=x 虚数部分の係数 Im(z)=y

絶対値 |z|=root(x^2+y^2)

偏角 a x/|z|=cos(a) y/|z|=sin(a) tan(a)=y/x

zの複素共約 \z=x-i*y

■ 虚数単位 i i^2=-1

 (2乗すると -1 になる数)=±i

 (2乗すると -9 になる数)=±i*3

 (2乗すると -5 になる数)=±i*root(5)

■ x>0 のとき、

 (2乗すると x になる数)=±root(x)

 (2乗すると -x になる数)=±i*root(x)

x<0 のとき (2乗すると x になる数)=±i*root(-x) _

{あいまいだった!2018/1}

■ i=root(-1) と思ってもいいが、それで、計算が自由にできるわけではない{!}例えば、

 i^2=[root(-1)]^2=root(-1)*root(-1)=root[(-1)*(-1)]=root1=1 正しくない{!}

 root(-1)*root(-1)=root[(-1)*(-1)] が、間違っている{!}

 i=root(-1) という表記は、止めた方がよい{!}あくまで i^2=-1

〓 ハミルトンの定義 〓 

■ 複素数の定義 by ハミルトン

2つの実数の組(a,b),(c,d)が次の規則を満たすモノを複素数とする。

加法 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

乗法 (a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c)

虚数単位 i は、ハミルトン流で表せば (0,1)

 i^2=i*i=(0,1)*(0,1)=(0*0-1*1 , 0*1+1*0)=(-1,0)

〓 複素共役 〓 

■ 実数 x,y 複素数 z=x+i*y zの複素共役数 \z=x-i*y

 \zの複素共役数は z

■ z+\z=2*x z-\z=i*2*y

 z*\z=(x+i*y)*(x-i*y)=x^2-i^2*y^2=x^2+y^2=|z|^2

 z^2=(x+i*y)^2=x^2+i*2*x*y+i^2*y^2=(x^2-y^2)+i*2*x*y

※ z^2≠|z|^2

■ z=x+i*y w=u+i*v x,y,u,v は実数

 \z*w=(x-i*y)*(u+i*v)=(x*u+y*v)+i*(x*v-y*u) @

 z/w
=(x+i*y)/(u+i*v)
=(x+i*y)*(u-i*v)/[(u+i*v)*(u-i*v)]
=[(x*u+y*v)-i*(x*v-y*u)]/(u^2+v^2) A

@Aより \z*w 純虚数 ⇔ x*u+y*v=0 ⇔ z/w 純虚数

〓 実数係数の2次方程式 〓 

◆ 複素数 z 実数 A,B 2次方程式 z^2+z*a+b=0 D=a^2-4*b

■ D≧0 のとき z=[-a±root(D)]/2 zは実数

D<0 のとき (2乗すると D になる数)=±i*root(-D)

 z=[-a±i*root(-D)]/2 zは複素数

■ D<0 のとき 解のひとつが z であれば、その共役複素数 \z も解である。

〓 解が複素共役である複素2次方程式 〓 

◆ 解が Z と その複素共役数 \Z である2次方程式

実数 X,Y Z=X+i*Y \Z=X-i*Y

(z-Z)*(z-\Z)=0

 z^2-z*(Z+\Z)+Z*\Z=0

ここで Z+\Z=2*X & Z*\Z=X^2+Y^2=|Z|^2 だから、

 z^2-z*2*X+|Z|^2=0 _解が複素共役である2次方程式は実数係数に限られる

〓 実数係数の2次方程式 〓 

◆ 複素数 z 実数 a,b 2次方程式 z^2+z*a+b=0 D=a^2-4*b

■ D≧0 のとき z=[-a±root(D)]/2 zは実数

D<0 のとき z=[-a±i*root(-D)]/2 zは複素数 2つの解は互いに共役である

〓 {計算例}複素2次方程式 〓 

◎ 係数が複素数の場合の2次方程式

■ z^2-(1+i)*z+i=0

 (z-1)*(z-i)=0 z=1 , i

■ z^2+i*6*z+27=0

 (z-i*3)*(z+i*9)=0 z=i*3 , -i*9

{別解} 解の公式を使う

 D=(i*3)^2-27=-36 root(D)=root(-36)=i*6

 z=-i*3±*i*6 z=i*3 , -i*9

{具体的に考えてみると、いろいろな事がわかる!2014/6}

〓 複素2次方程式 z^2-z*i*2*a+(b^2-a^2)=0 〓 

◆ 複素数 z 実数 a,b 複素2次方程式 z^2-z*i*2*a+(b^2-a^2)=0

[z-i*(a+b)]*[z-i*(a-b)]=z^2-z*i*2*a+(b^2-a^2) となるから、

複素2次方程式 z^2-z*i*2*a+(b^2-a^2)=0 の解は、

 z=i*(a+b) , z=i*(a-b) _

〓 複素2次方程式 z^2-z*i*2*a+(b^2-a^2)=0 〓 

◆ 複素数 z 実数 a,b 複素2次方程式 z^2-z*i*2*a+(b^2-a^2)=0

解 z=i*(a+b) , z=i*(a-b)

〓 {計算例}複素2次方程式 z^2-z*i*2*a+(b^2-a^2)=0 〓 

■ z^2-z*i*6+40=0

 z^2-z*i*2*3+(7^2-3^2)=0

 z=i*(3+7)=i*10 , z=i*(3-7)=-i*4

{確かめ} (z-i*10)*(z+i*4)=z^2-z*i*6+40

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