お勉強しようwithUz 数学.関数

2016/2-2015/10 Yuji.W

複素数

◎ 複素数の定義 虚数の平方根 2次方程式 複素平面 ガウス平面 三角形の余弦定理 虚数 imaginary number 複素数 complex number

ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z物理定数

◇複素数の定義◇

■ 虚数単位 i i^2=-1 . 任意の実数 x,y 複素数 z=x+i*y

実数部分 Re(z)=x 虚数部分の係数 Im(z)=y

絶対値 |z|=root(x^2+y^2)

偏角 a x/|z|=cos(a) y/|z|=sin(a) tan(a)=y/x

zの複素共約 \z=x-i*y

■ i=root(-1) と思ってもいいが、それで、計算が自由にできるわけではない{!}例えば、

 i^2=[root(-1)]^2=root(-1)*root(-1)=root[(-1)*(-1)]=root1=1 正しくない{!}

 root(-1)*root(-1)=root[(-1)*(-1)] が、間違っている{!}

 i=root(-1) という表記は、止めた方がよい{!}あくまで i^2=-1

■ 別の定義-ハミルトン

2つの実数の組(a,b),(c,d)が次の規則を満たすモノを複素数とする。

加法 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
乗法 (a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c)

 i*i=(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1

■ z+\z=2*x z-\z=i*2*y

 z*\z=(x+i*y)*(x-i*y)=x^2-i^2*y^2=x^2+y^2=|z|^2

 z^2=(x+i*y)^2=x^2+i*2*x*y+i^2*y^2=(x^2-y^2)+i*2*x*y

■ z=x+i*y w=u+i*v x,y,u,v は実数

 \z*w=(x-i*y)*(u+i*v)=(x*u+y*v)+i*(x*v-y*u) @

 z/w
=(x+i*y)/(u+i*v)
=(x+i*y)*(u-i*v)/[(u+i*v)*(u-i*v)]
=[(x*u+y*v)-i*(x*v-y*u)]/(u^2+v^2) A

@Aより \z*w 純虚数 ⇔ x*u+y*v=0 ⇔ z/w 純虚数

◇複素数の2次方程式◇

◎ 係数が複素数の場合の2次方程式

◆ 2次方程式 z^2+a*z+b=0 a,b:複素数

■ 解の公式は使える D=a^2-4*b 解 z=[-a+(+-)*root(D)]/2

※ a は実数だと限らない 解=虚数+(+-)虚数 という場合がある{!}

◆ 2次方程式 z^2+2*a*z+b=0 a,b:複素数

■ D=a^2-b 解 z=-a+(+-)*root(D)


★ z^2-(1+i)*z+i=0 (z-1)*(z-i)=0 z=1 , i

★ z^2+i*6*z+27=0 (z-i*3)*(z+i*9)=0 z=i*3 , -i*9

{別解} 解の公式を使う

 D=(i*3)^2-27=-36 root(D)=root(-36)=i*6

 z=-i*3+(+-)*i*6 z=i*3 , -i*9

★ z^2-i*2*a*z+(b^2-a^2)=0

 [z-i*(a+b)]*[z-i*(a-b)]=0 z=i*a+(+-)*i*b .

{別解} 解の公式を使う

 D=(-i*a)^2-(b^2-a^2)=-a^2-(b^2-a^2)=-b^2 root(D)=i*b

 z=i*a+(+-)*i*b z=i*(a+b) , i*(a-b)

{具体的に考えてみると、いろいろな事がわかる!2014/6}

◇複素平面(複素数平面,ガウス平面)◇

■ 複素数は、2つの実数の組合せであるから、平面の点と対応させることができる。x軸を実数軸、y軸を虚数軸、x軸との角度を a

◆ 2つの複素数 z=|z|*[cos(a)+i*sin(a)] w=|w|*[cos(b)+i*sin(b)]

■ [cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=[cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)]+i*[cos(a)*sin(b)+sin(a)*cos(b)]
=cos(a+b)+i*sin(a+b)

 z*w
=|z|*|w|*[cos(a)+i*sin(a)]*[cos(b)+i*sin(b)]
=|z|*|w|*cos(a+b)+i*sin(a+b) 
.

■ \w=|w|*[cos(b)-i*sin(b)]=|w|*[cos(-b)+i*sin(-b)] .

 z*\w=|z|*|w|*[cos(a-b)+i*sin(a-b)] .

■ |z+w|^2
=(z+w)*[\(z+w)]
=(z+w)*(\z+\w)
=z*\z+w*\w+z*\w+w*\z
=|z|^2+|w|^2
+|z|*|w|*[cos(a-b)+i*sin(a-b)]+|z|*|w|*[cos(-a+b)+i*sin(-a+b)]
=|z|^2+|w|^2+2*|z|*|w|*cos(a-b)

◇三角形の余弦定理◇

複素平面を使って、三角形の余弦定理を導きだそう。

◆ 3点 O,A,B 複素平面で 原点,z,w zの偏角 a wの偏角 b ∠AOB=a-b

 AB^2=|z-w|^2

■ AB^2
=|z-w|^2
=|z|^2+|w|^2-2*|z|*|w|*cos(a-b)
=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB)

≫ AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(∠AOB) 余弦定理

▲ ∠AOB=Pi/2 のとき AB^2=OA^2+OB^2

◇複素平面と平面ベクトル◇

◎ 複素平面と、平面ベクトルを対応させることができる。

◆ 複素数 z,w z=x+i*y w=u+i*v〔x,y,X,Y:実数〕

平面ベクトル <A>,<B> z ⇔ <A> w ⇔ <B>

 <A>=<x y> <B>=<u v>

■ \z*w=(x-i*y)*(u+i*v)=(x*u+y*v)+i*(x*v-y*u) @

内積 <A>*<B>=x*u+y*v A

外積の z 成分 (<A>#<B>のz成分)=x*v-y*u B

@ABより、

 \z*wの実数部=<A>*<B> \z*wの虚数部の係数=(<A>#<B>のz成分)

  \z*w=<A>*<B>+i*(<A>#<B>のz成分) .{おもしろい!2014/1}

■ 複素数の垂直 ⇔ <A>*<B>=0 ⇔ Re[\z*w]=0
 ⇔ [\z*w] の実数部がない ⇔ \z*w が純虚数
 ⇔ z/w が純虚数

  複素数  

inserted by FC2 system