お勉強しようUz〕 数学 微分

2016/12-2012/6 Yuji.W

☆近似式☆

. マクローリン展開 テイラー展開 expansion Maclaurin Taylor

◇積* 商/ 微分;x 時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)
 ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積#

☆展開☆

『展開』 ◇ [関数 f(x) を x で微分し、x=0 を代入したもの]=f(0);x

■ マクローリン展開

 f(x)=f(0)+[f(0);x]*x+[f(0);;x]*x^2/2+[f(0);;;x]*x^3/6+…

 第n項=[f(x)のn階微分に x=0]*x^n/n!

■ テイラー展開

 f(x)=f(a)+[f(a);x]*(x-a)+[f(a);;x]*(x-a)^2/2+…

 第n項=[f(x)のn階微分に x=a]*(x-a)^n/n!

■ f(x)=(1+x)^n

 f;x=n*(1+x)^(n-1) f(0);x=n
 f;;x=n*(n-1)*(1+x)^(n-2) f(0);;x=n*(n-1)
 f;;;x=n*(n-1)*(n-2)*(1+x)^(n-3) f(0);;;x=n*(n-1)*(n-2)

 (1+x)^n=1+n*x+[n*(n-1)/2]*x^2+[n*(n-1)*(n-2)/6]*x^3+… 

★ (1+x)^2=1+2*x+x^2 {なるほど!2014/2}

★ (1+x)^3=1+3*x+3*x^2+x^3 {そりゃそうだ!2014/2}

★ (1+x)^4=1+4*x+6*x^2+4*x^3+… {うまくできてるなあ!2014/2}

★ (1+x)^(1/2)=1+(1/2)*x-(1/8)*x^2+(1/16)*x^3+…

★ (1+x)^(-1)=1-x+x^2-x^3+…

★ (1-x)^(-1)=1+x+x^2+x^3+…

★ (1+x)^(-2)=1-2*x+3*x^2-4*x^3+…

★ (1+x)^(-3)=1-3*x+6*x^2-10*x^3+…

★ (1+x)^(-1/2)=1-(1/2)*x+(3/8)*x^2-(5/16)*x^3+…

★ (1+x)^(-3/2)=1-(3/2)*x+(15/8)*x^2-(35/16)*x^3+…

★ (1+x)^(-5/2)=1-(5/2)*x+(35/8)*x^2-(105/16)*x^3+…

{全然わかってなかったなあ!2014/2}


■ 1/1.1^2=0.8264…

近似式を使って 1/1.1^2
=(1+0.1)^(-2)
=1-2*0.1+3*0.1^2-4*0.1^4+…
=1-0.2+0.03-0.004
=0.826 {なるほど!}

■ root(1.1)~1.048805 1.048805^2=1.0999919…

近似式を使って  root(1.1)
=(1+0.1)^(1/2)
=1+(1/2)*0.1-(1/8)*0.1^2+(1/16)*0.1^3+…
=1+0.05-0.00125+0.00006
=1.04881 {確かめ}1.04881^2=1.1000024 {素晴らしい!}

☆近似式☆

■ exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+…+x^n/n!+…

 exp(a*x)=1+a*x+a^2*x^2/2+…++…

 ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…+(-1)^(n+1)*x^n/n+… ただし、-1<x<1

■ exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…

 exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2-x^6/6+x^8/24-x^10/120+…

 x^2*exp(-x^2)=x^2-x^4+x^6/2-x^8/6+x^10/24-x^12/120+…

 ${x^2*exp(-x^2)*dx}
=x^3/3-x^5/5+x^7/14-x^9/54+x^11/262-x^13/1560+… 

■ sin(x)=x-x^3/6+…+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!+…

 cos(x)=1-x^2/2+…+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+…

 tan(x)=x+x^3/3+…

 arcsin(x)=x+x^3/6+…++…

 arctan(x)=x-x^3/3+…+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+…

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